Calcule as derivadas de cada função, a seguir:
f(x)=\sqrt{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f. A função dada é
f(x)=\sqrt{x-2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão da função é \sqrt{x-2}.
  • Pelo formato \sqrt{\cdot}, o domínio natural (valores de x para os quais a função está definida) satisfaz (x-2)\ge 0, ou seja x\ge 2.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em pontos do domínio onde ela existir.

Passo 2

Vamos reescrever a função numa forma que facilita derivar: a raiz quadrada é uma potência de expoente 1/2. Então
f(x)=(x-2)^{1/2}.
Explicando por que isso é útil: derivar potências é direto com a regra da potência. A regra da potência (forma prática) diz que, para u(x) sendo uma função de x e n um número real,
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^n\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui, a parte u'(x) aparece porque estamos derivando uma função composta (uma potência aplicada a uma função): essa é a ideia da regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia rapidinho: se você tem h(x)=g(u(x)), a derivada é
h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso g(u)=u^{1/2} e u(x)=x-2.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia de forma explícita. Identificamos:
u(x)=x-2,\qquad g(u)=u^{1/2}.
Primeiro derivamos g em função de u:
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}.
Depois derivamos u(x) em relação a x:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x-2)=1.
Usando a regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=\frac{1}{2}\bigl(u(x)\bigr)^{-1/2}\cdot 1.

Passo 4

Substituindo u(x)=x-2 na expressão anterior, obtemos
f'(x)=\frac{1}{2}(x-2)^{-1/2}.
Essa forma já é correta, mas costuma ficar mais bonita (e mais interpretável) escrever sem expoente negativo, usando raiz na denominação:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}.

Passo 5

Agora vamos comentar sobre o domínio da derivada e o que acontece em x=2. A expressão \frac{1}{2\sqrt{x-2}} exige que \sqrt{x-2}\neq 0, isto é, x-2>0 ou x>2. Portanto:
  • Para x>2, a derivada existe e vale \displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}.
  • Em x=2, a derivada não existe. Justifico isso com uma verificação pelo limite do quociente incremental: para x_0=2,
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\sqrt{2+h-2}-0}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}},
que, ao fazer h\to 0^+, tende para +\infty; para h<0 o quociente sequer está definido pois \sqrt{h} não existe em reais. Logo não há limite finito simétrico, então f'\!(2) não existe (geometricamente, há uma tangente vertical em x=2).

Passo 6

Pequeno reforço didático prático: essa derivada é um caso típico de função do tipo \sqrt{x-a}. Se g(x)=\sqrt{x-a}=(x-a)^{1/2}, então, pelo mesmo raciocínio,
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-a}},\qquad x>a.
Exemplo rápido para fixar: para h(x)=\sqrt{x} (caso a=0) temos h'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0. É exatamente o mesmo padrão, apenas com deslocamento do eixo x quando aparece o -2.

Passo 7

Resumo motivador: você já consegue aplicar isso em provas rapidinho — reconheça \sqrt{\cdot} como potência ^{1/2}, aplique a regra da potência junto com a cadeia (multiplica pelo derivado do interno) e verifique o domínio da derivada (pontos onde a expressão dá divisão por zero ou raízes de negativos). Vai dar certo — você já fez o passo mais importante!

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}, para x>2.

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