Calcule as derivadas de cada função, a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão da função é
. - Pelo formato
, o domínio natural (valores de para os quais a função está definida) satisfaz , ou seja . - A tarefa é encontrar
, a derivada de em pontos do domínio onde ela existir.
Passo 2
Vamos reescrever a função numa forma que facilita derivar: a raiz quadrada é uma potência de expoente
. Então
Explicando por que isso é útil: derivar potências é direto com a regra da potência. A regra da potência (forma prática) diz que, para
sendo uma função de
e
um número real,
Aqui, a parte
aparece porque estamos derivando uma função composta (uma potência aplicada a uma função): essa é a ideia da regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia rapidinho: se você tem
, a derivada é
No nosso caso
e
.
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia de forma explícita. Identificamos:
Primeiro derivamos
em função de
:
Depois derivamos
em relação a
:
Usando a regra da cadeia,
Passo 4
Substituindo
na expressão anterior, obtemos
Essa forma já é correta, mas costuma ficar mais bonita (e mais interpretável) escrever sem expoente negativo, usando raiz na denominação:
Passo 5
Agora vamos comentar sobre o domínio da derivada e o que acontece em
. A expressão
exige que
, isto é,
ou
. Portanto:
- Para
, a derivada existe e vale . - Em
, a derivada não existe. Justifico isso com uma verificação pelo limite do quociente incremental: para ,
que, ao fazer
, tende para
; para
o quociente sequer está definido pois
não existe em reais. Logo não há limite finito simétrico, então
não existe (geometricamente, há uma tangente vertical em
).
Passo 6
Pequeno reforço didático prático: essa derivada é um caso típico de função do tipo
. Se
, então, pelo mesmo raciocínio,
Exemplo rápido para fixar: para
(caso
) temos
para
. É exatamente o mesmo padrão, apenas com deslocamento do eixo
quando aparece o
.
Passo 7
Resumo motivador: você já consegue aplicar isso em provas rapidinho — reconheça
como potência
, aplique a regra da potência junto com a cadeia (multiplica pelo derivado do interno) e verifique o domínio da derivada (pontos onde a expressão dá divisão por zero ou raízes de negativos). Vai dar certo — você já fez o passo mais importante!