Calcule as derivadas de cada função, a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
1) A função está escrita como quociente de duas funções: numerador
e denominador
.
2) O domínio natural onde a função está definida é
(porque o denominador não pode ser zero).
A tarefa é encontrar para
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A tarefa é encontrar
Passo 2
Escolha do método: posso usar a regra do quociente (método direto e padrão para derivar uma fração) ou simplificar a função fazendo divisão polinomial e depois derivar termo a termo (às vezes mais rápido e menos sujeito a erros algébricos). Vou fazer os dois: primeiro explico e aplico a regra do quociente (porque é a técnica que você deve dominar na prova) e depois mostro a verificação pela divisão polinomial (para você ver que dá o mesmo resultado e aprender uma alternativa útil).
Passo 3
Aula curta: regra do quociente.
Se tivermos duas funções e
com
, a derivada de
é dada por
Se tivermos duas funções
O que cada coisa significa:
é a derivada do numerador;
é a derivada do denominador; a fórmula combina essas derivadas formando no numerador a diferença entre
e
, e no denominador o quadrado de
. Intuição rápida: é uma versão organizada do produto (derivada de
).
Passo 4
Aplicando a regra do quociente à nossa função: identifique
Calcule as derivadas de
e
:
Agora substituo na fórmula da regra do quociente:
Faço as contas do numerador passo a passo:
Portanto, pela regra do quociente obtemos (a forma antes da simplificação final)
Passo 5
Simplificação algébrica final: posso fatorar o numerador para deixar mais evidente:
logo
Essa é uma forma simplificada e prática para avaliar a derivada em qualquer
.
Passo 6
Verificação alternativa (divisão polinomial + derivada termo a termo) — dica útil para a prova: às vezes é mais rápido dividir antes de derivar. Faço a divisão de
por
:
pois
e sobra
. Agora derivo termo a termo:
Somando,
que coincide com o resultado obtido pela regra do quociente. Bom sinal: resposta consistente.
Passo 7
Observações finais e dica de prova: anote sempre o domínio
. Se precisar avaliar a derivada em algum ponto, use a forma fatorada
— fica fácil ver sinais e zeros (por exemplo, zeros de
em
e
, lembrando que
não faz parte do domínio).