Calcule as derivadas de cada função, a seguir:
f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\displaystyle 1) A função está escrita como quociente de duas funções: numerador x^{2} e denominador x+1.
\displaystyle 2) O domínio natural onde a função está definida é x\neq -1 (porque o denominador não pode ser zero).
A tarefa é encontrar f'(x) para x\neq -1.

Passo 2

Escolha do método: posso usar a regra do quociente (método direto e padrão para derivar uma fração) ou simplificar a função fazendo divisão polinomial e depois derivar termo a termo (às vezes mais rápido e menos sujeito a erros algébricos). Vou fazer os dois: primeiro explico e aplico a regra do quociente (porque é a técnica que você deve dominar na prova) e depois mostro a verificação pela divisão polinomial (para você ver que dá o mesmo resultado e aprender uma alternativa útil).

Passo 3

Aula curta: regra do quociente.
Se tivermos duas funções \displaystyle u(x) e \displaystyle v(x) com v(x)\neq 0, a derivada de \displaystyle \frac{u(x)}{v(x)} é dada por
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
O que cada coisa significa: \displaystyle u'= \frac{d}{dx}u(x) é a derivada do numerador; \displaystyle v'=\frac{d}{dx}v(x) é a derivada do denominador; a fórmula combina essas derivadas formando no numerador a diferença entre \displaystyle u'v e \displaystyle uv', e no denominador o quadrado de \displaystyle v. Intuição rápida: é uma versão organizada do produto (derivada de u\cdot v^{-1}).

Passo 4

Aplicando a regra do quociente à nossa função: identifique
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=x+1.
Calcule as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.
Agora substituo na fórmula da regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(2x)(x+1)-x^{2}\cdot 1}{(x+1)^{2}}.
Faço as contas do numerador passo a passo:
(2x)(x+1)=2x^{2}+2x,
2x^{2}+2x-x^{2}=x^{2}+2x.
Portanto, pela regra do quociente obtemos (a forma antes da simplificação final)
f'(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Simplificação algébrica final: posso fatorar o numerador para deixar mais evidente:
x^{2}+2x = x(x+2),
logo
f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}.
Essa é uma forma simplificada e prática para avaliar a derivada em qualquer x\neq -1.

Passo 6

Verificação alternativa (divisão polinomial + derivada termo a termo) — dica útil para a prova: às vezes é mais rápido dividir antes de derivar. Faço a divisão de \displaystyle x^{2} por \displaystyle x+1:
\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1},
pois (x+1)(x-1)=x^{2}-1 e sobra +1. Agora derivo termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(x-1\big)=1,\qquad \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)=-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Somando,
f'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+1)^{2}-1}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}},
que coincide com o resultado obtido pela regra do quociente. Bom sinal: resposta consistente.

Passo 7

Observações finais e dica de prova: anote sempre o domínio x\neq -1. Se precisar avaliar a derivada em algum ponto, use a forma fatorada \displaystyle \frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}} — fica fácil ver sinais e zeros (por exemplo, zeros de f' em x=0 e x=-2, lembrando que x=-1 não faz parte do domínio).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}

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