Calcule as derivadas direcionais das funções nos pontos e direções especificados.
f(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} ;(1,2) ; v=(3,5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função f no ponto e na direção indicados. Informações dadas:
f(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},
ponto (1,2) e vetor direção v=(3,5).
A tarefa é encontrar a derivada direcional de f em (1,2) na direção de v.

Passo 2

Definição e observação importante: a derivada direcional de f num ponto a na direção de um vetor unitário u é
D_{u}f(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+hu)-f(a)}{h}.
Quando f é diferenciável no ponto a, há uma forma muito prática de calcular essa derivada:
D_{u}f(a)=\nabla f(a)\cdot u,
isto é, o produto escalar entre o gradiente \nabla f(a) e o vetor unitário u. Portanto precisamos (1) verificar que podemos usar o gradiente e (2) calcular \nabla f(1,2) e (3) transformar v em um vetor unitário.

Passo 3

Verificação de diferenciabilidade local: f é razão de polinômios e o denominador x^{2}+y^{2} em (1,2) vale 1^{2}+2^{2}=5\neq 0. Como o denominador não é zero, f é diferenciável em (1,2). Logo podemos usar a fórmula D_{u}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot u.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais (aula rápida do método usado): para f(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} usamos a regra do quociente.
Calcule f_x:
f_x(x,y)=\frac{1\cdot (x^{2}+y^{2}) - x\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Expliquei: derivada do numerador x é 1; derivada do denominador apareceu multiplicando o numerador conforme a regra do quociente.
Calcule f_y:
f_y(x,y)=\frac{0\cdot (x^{2}+y^{2}) - x\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Aqui o numerador x é constante em relação a y, por isso a primeira parcela é zero.

Passo 5

Avaliação do gradiente no ponto (1,2): primeiro o denominador comum
(x^{2}+y^{2})^{2}=(1^{2}+2^{2})^{2}=(1+4)^{2}=5^{2}=25.
Agora as componentes:
f_x(1,2)=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{4-1}{25}=\frac{3}{25},
f_y(1,2)=-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=-\frac{2\cdot 1\cdot 2}{25}=-\frac{4}{25}.
Portanto
\nabla f(1,2)=\left(\frac{3}{25},-\frac{4}{25}\right).

Passo 6

Normalização do vetor direção v=(3,5): precisamos do vetor unitário u=\dfrac{v}{\|v\|}.
Calcule a norma de v:
\|v\|=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.
Logo o vetor unitário é
u=\left(\frac{3}{\sqrt{34}},\frac{5}{\sqrt{34}}\right).
Lembrete: usar o vetor unitário é necessário porque a derivada direcional padrão usa direção com comprimento 1; se não normalizarmos, o limite define a derivada ao longo de um vetor com magnitude diferente, que é apenas um fator da derivada unitaria.

Passo 7

Cálculo da derivada direcional usando o produto escalar:
D_{u}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot u =\left(\frac{3}{25},-\frac{4}{25}\right)\cdot\left(\frac{3}{\sqrt{34}},\frac{5}{\sqrt{34}}\right).
Compute componente a componente:
D_{u}f(1,2)=\frac{3}{25}\cdot\frac{3}{\sqrt{34}}+\left(-\frac{4}{25}\right)\cdot\frac{5}{\sqrt{34}} =\frac{1}{25\sqrt{34}}\bigl(9-20\bigr) =\frac{-11}{25\sqrt{34}}.

Resposta

-\dfrac{11}{25\sqrt{34}}

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