Calcule as derivadas direcionais das funções nos pontos e direções especificados.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto e na direção indicados. Informações dadas:
ponto
e vetor direção
.
A tarefa é encontrar a derivada direcional de em
na direção de
.
A tarefa é encontrar a derivada direcional de
Passo 2
Definição e observação importante: a derivada direcional de
num ponto
na direção de um vetor unitário
é
Quando
é diferenciável no ponto
, há uma forma muito prática de calcular essa derivada:
isto é, o produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
. Portanto precisamos (1) verificar que podemos usar o gradiente e (2) calcular
e (3) transformar
em um vetor unitário.
Passo 3
Verificação de diferenciabilidade local:
é razão de polinômios e o denominador
em
vale
. Como o denominador não é zero,
é diferenciável em
. Logo podemos usar a fórmula
.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais (aula rápida do método usado): para
usamos a regra do quociente.
Calcule :
Calcule
Expliquei: derivada do numerador
é
; derivada do denominador apareceu multiplicando o numerador conforme a regra do quociente.
Calcule :
Calcule
Aqui o numerador
é constante em relação a
, por isso a primeira parcela é zero.
Passo 5
Avaliação do gradiente no ponto
: primeiro o denominador comum
Agora as componentes:
Portanto
Passo 6
Normalização do vetor direção
: precisamos do vetor unitário
.
Calcule a norma de :
Calcule a norma de
Logo o vetor unitário é
Lembrete: usar o vetor unitário é necessário porque a derivada direcional padrão usa direção com comprimento 1; se não normalizarmos, o limite define a derivada ao longo de um vetor com magnitude diferente, que é apenas um fator da derivada unitaria.
Passo 7
Cálculo da derivada direcional usando o produto escalar:
Compute componente a componente: