Encontre a equação do plano tangente ao gráfico das funções a seguir nos pontos especificados.
f(x, y)=\frac{x}{y^{2}} ;(-4,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função \!f(x,y)=\dfrac{x}{y^{2}} no ponto \!(-4,2,-1).
Dados fornecidos:
  • A função: \!f(x,y)=\dfrac{x}{y^{2}}.
  • O ponto onde queremos o plano tangente: \!(x_{0},y_{0},z_{0}) = (-4,2,-1).
  • Pergunta: obter a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) nesse ponto.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (curtinha e prática): para uma superfície definida por \!z=f(x,y), o plano tangente em \!(x_{0},y_{0},z_{0}) é dado pela linearização
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
O que isso significa (explicando devagar): f_{x} é a derivada parcial em relação a x (a inclinação do gráfico quando movemos só em x, com y fixo) e f_{y} é a derivada parcial em relação a y (a inclinação quando movemos só em y, com x fixo). O plano tangente é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto.

Passo 3

Calcular a derivada parcial \!f_{x}(x,y).
Começamos reescrevendo \!f(x,y) como \!f(x,y)=x\,y^{-2}.
Derivando parcialmente em relação a x (tratando y como constante) obtemos
f_{x}(x,y)=y^{-2}=\frac{1}{y^{2}}.
Aqui usei a regra: derivada de x em relação a x é 1, e y^{-2} é constante nesse processo.

Passo 4

Calcular a derivada parcial \!f_{y}(x,y).
Partimos de \!f(x,y)=x\,y^{-2}. Agora x é tratado como constante e derivamos y^{-2} em relação a y. A derivada de y^{-2} é -2y^{-3}. Então
f_{y}(x,y)=x\cdot(-2)y^{-3} = -\frac{2x}{y^{3}}.
Explicando: a constante x fica multiplicando, e aplicamos a regra do expoente na variável y.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (x_{0},y_{0})=(-4,2).
Calcular f_{x}(-4,2):
f_{x}(-4,2)=\frac{1}{(2)^{2}}=\frac{1}{4}.
Calcular f_{y}(-4,2):
f_{y}(-4,2)=-\frac{2\cdot(-4)}{(2)^{3}} = -\frac{-8}{8} = 1.
Mostrei os passos: y^{3}=2^{3}=8, -2x = -2\cdot(-4)=8, daí 8/8=1.

Passo 6

Substituir na fórmula do plano tangente.
Usando \!(x_{0},y_{0},z_{0})=(-4,2,-1), \!f_{x}(-4,2)=\tfrac{1}{4} e \!f_{y}(-4,2)=1, temos
z - (-1) = \frac{1}{4}\bigl(x-(-4)\bigr) + 1\cdot(y-2).
Simplificando passo a passo:
z+1 = \frac{1}{4}(x+4) + (y-2).
Expandindo:
z+1 = \frac{1}{4}x + 1 + y - 2 = \frac{1}{4}x + y -1.
Isolando z:
z = \frac{1}{4}x + y -2.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom na prova): substituindo (x,y)=(-4,2) na equação encontrada,
z = \frac{1}{4}(-4) + 2 - 2 = -1 + 0 = -1,
que bate com z_{0}=-1. Perfeito — ponto pertence ao plano.

Resposta

z=\dfrac{1}{4}x+y-2

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