Encontre a equação do plano tangente ao gráfico das funções a seguir nos pontos especificados.
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Dados fornecidos:
- A função:
. - O ponto onde queremos o plano tangente:
. - Pergunta: obter a equação do plano tangente à superfície
nesse ponto.
Passo 2
Conceito e fórmula útil (curtinha e prática): para uma superfície definida por
, o plano tangente em
é dado pela linearização
O que isso significa (explicando devagar):
é a derivada parcial em relação a
(a inclinação do gráfico quando movemos só em
, com
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
(a inclinação quando movemos só em
, com
fixo). O plano tangente é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto.
Passo 3
Calcular a derivada parcial
.
Começamos reescrevendo como
.
Derivando parcialmente em relação a (tratando
como constante) obtemos
Começamos reescrevendo
Derivando parcialmente em relação a
Aqui usei a regra: derivada de
em relação a
é
, e
é constante nesse processo.
Passo 4
Calcular a derivada parcial
.
Partimos de . Agora
é tratado como constante e derivamos
em relação a
. A derivada de
é
. Então
Partimos de
Explicando: a constante
fica multiplicando, e aplicamos a regra do expoente na variável
.
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Calcular
:
Calcular
:
Mostrei os passos:
,
, daí
.
Passo 6
Substituir na fórmula do plano tangente.
Usando
,
e
, temos
Simplificando passo a passo:
Expandindo:
Isolando
:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom na prova): substituindo
na equação encontrada,
que bate com
. Perfeito — ponto pertence ao plano.