Calcule o limite
.
Passo 1
O problema pede para calcular o seguinte limite vetorial quando
tende a infinito:
Informações dadas:
- A variável que vai ao infinito é
, ou seja, . - Temos três componentes dentro do parêntese:
,
,
. - Queremos o limite do vetor (tripla) quando
.
Passo 2
Observação básica (teorema usado): o limite de um vetor com componentes depende do limite de cada componente — mais precisamente, se cada componente tem limite quando
, então o limite do vetor é o vetor dos limites das componentes. Em símbolos:
Portanto vou calcular os três limites separadamente e depois juntar os resultados.
Passo 3
Cálculo da primeira componente
.
Técnica: para limites quando
de razões de polinômios, divide-se numerador e denominador pelo maior grau de
presente (aqui
).
Dividindo por
obtemos:
Agora faça
. Como
, a expressão tende a
Portanto
Comentário intuitivo: para grandes
, os termos
dominam, então a fração se parece com
.
Passo 4
Cálculo da segunda componente
.
Conhecimento sobre
: a função
é a inversa de
restrita ao intervalo
. A função
é contínua, estritamente crescente e tem imagens dentro de
. À medida que
,
aproxima-se do extremo superior
.
Rigorosamente, por monotonia e por ser limitada acima por
, temos
Intuição rápida:
fica muito grande quando
é pequeno, então o inverso
de números grandes fica próximo de
.
Passo 5
Cálculo da terceira componente
.
Primeira observação: para
temos
. Então o numerador
tende a
. O denominador
tende a infinito. Uma razão entre um número que tende para um valor finito não nulo e algo que tende a infinito tende a zero. Mas vou fazer uma argumentação com desigualdades (teorema do sanduíche) para ser bem claro.
Note que para todo
temos
, então
. Dividindo por
(para
grande é positivo) obtemos
Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
Passo 6
Combinação dos resultados: aplicando o princípio do Passo 2 (limite componente a componente), os limites obtidos nas componentes são:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
.
Portanto o limite vetorial é o vetor formado por esses três números.