Calcule o limite
\lim _{t \rightarrow \infty}\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}, \arctan t, \frac{1-e^{-2 t}}{t}\right).

Passo 1

O problema pede para calcular o seguinte limite vetorial quando t tende a infinito:
\lim_{t\to\infty}\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\;\arctan t,\;\frac{1-e^{-2t}}{t}\right).
Informações dadas:
  • A variável que vai ao infinito é t, ou seja, t\to\infty.
  • Temos três componentes dentro do parêntese:
    \displaystyle \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},
    \displaystyle \arctan t,
    \displaystyle \frac{1-e^{-2t}}{t}.
  • Queremos o limite do vetor (tripla) quando t\to\infty.

Passo 2

Observação básica (teorema usado): o limite de um vetor com componentes depende do limite de cada componente — mais precisamente, se cada componente tem limite quando t\to\infty, então o limite do vetor é o vetor dos limites das componentes. Em símbolos:
\text{se } \lim_{t\to\infty}x(t)=x_0,\\ \lim_{t\to\infty}y(t)=y_0,\\ \lim_{t\to\infty}z(t)=z_0,
\text{então } \lim_{t\to\infty}\big(x(t),y(t),z(t)\big)=(x_0,y_0,z_0).ã
Portanto vou calcular os três limites separadamente e depois juntar os resultados.

Passo 3

Cálculo da primeira componente \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}.
Técnica: para limites quando t\to\infty de razões de polinômios, divide-se numerador e denominador pelo maior grau de t presente (aqui t^{2}).
Dividindo por t^{2} obtemos:
\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} = \frac{\tfrac{1}{t^{2}}+1}{\tfrac{1}{t^{2}}-1}.
Agora faça t\to\infty. Como \tfrac{1}{t^{2}}\to 0, a expressão tende a
\frac{0+1}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1.
Portanto
\lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} = -1.
Comentário intuitivo: para grandes t, os termos t^{2} dominam, então a fração se parece com \frac{t^{2}}{-t^{2}}=-1.

Passo 4

Cálculo da segunda componente \displaystyle \lim_{t\to\infty}\arctan t.
Conhecimento sobre \arctan: a função \arctan x é a inversa de \tan y restrita ao intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). A função \arctan x é contínua, estritamente crescente e tem imagens dentro de (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). À medida que x\to\infty, \arctan x aproxima-se do extremo superior \tfrac{\pi}{2}.
Rigorosamente, por monotonia e por ser limitada acima por \tfrac{\pi}{2}, temos
\lim_{t\to\infty}\arctan t = \frac{\pi}{2}.
Intuição rápida: \tan\big(\tfrac{\pi}{2}-\varepsilon\big) fica muito grande quando \varepsilon é pequeno, então o inverso \arctan de números grandes fica próximo de \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Cálculo da terceira componente \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{1-e^{-2t}}{t}.
Primeira observação: para t\to\infty temos e^{-2t}\to 0. Então o numerador \,1-e^{-2t}\, tende a 1. O denominador t tende a infinito. Uma razão entre um número que tende para um valor finito não nulo e algo que tende a infinito tende a zero. Mas vou fazer uma argumentação com desigualdades (teorema do sanduíche) para ser bem claro.
Note que para todo t\ge 0 temos 0\le e^{-2t}\le 1, então 0\le 1-e^{-2t}\le 1. Dividindo por t>0 (para t grande é positivo) obtemos
0 \le \frac{1-e^{-2t}}{t} \le \frac{1}{t}.
Como \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{t\to\infty}\frac{1-e^{-2t}}{t} = 0.

Passo 6

Combinação dos resultados: aplicando o princípio do Passo 2 (limite componente a componente), os limites obtidos nas componentes são:
  • primeira componente: -1,
  • segunda componente: \tfrac{\pi}{2},
  • terceira componente: 0.
Portanto o limite vetorial é o vetor formado por esses três números.

Resposta

\displaystyle \left(-1,\;\frac{\pi}{2},\;0\right)

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