Calcule as derivadas direcionais pedidas.
no ponto
e na direção do versor de
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do versor associado ao vetor
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada direcional é
. - A direção é dada pelo vetor
; devemos usar o versor (ou unitário) obtido a partir de .
Passo 2
O que é um versor e como construí-lo: um versor
na direção de um vetor
é o vetor
dividido pela sua norma, isto é,
Primeiro calculo a norma de
:
Portanto o versor é
Passo 3
Definição prática da derivada direcional que vamos usar: se
é diferenciável no ponto
, então a derivada direcional de
em
na direção do versor
é o produto escalar do gradiente de
em
com
:
Explicando: o gradiente
é o vetor das derivadas parciais,
Então preciso calcular as derivadas parciais de
e avaliá-las em
, e depois fazer o produto escalar com
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
. Uso a regra da cadeia e a regra do poder:
Simplificando:
De maneira análoga para
:
Passo 5
Avalio as derivadas parciais no ponto
. Primeiro
. Logo
.
Agora:
Portanto o gradiente no ponto é
Passo 6
Calculo a derivada direcional como produto escalar:
Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Interpretação rápida (motivação para a prova): o valor negativo significa que, ao nos movermos a partir de
na direção dada por
, a função
diminui naquele instante; o módulo
é a taxa de variação por unidade de comprimento ao longo dessa direção. Força aí — você já tem a técnica: calcular o versor, achar o gradiente e usar o produto escalar.