Calcule as derivadas direcionais pedidas.
f(x, y)=\frac{2}{x^{2}+y^{2}} no ponto (-1,1) e na direção do versor de v=2 \vec{i}+3 \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada direcional de f no ponto (-1,1) na direção do versor associado ao vetor v=2\vec{i}+3\vec{j}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{2}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto onde queremos a derivada direcional é (-1,1).
  • A direção é dada pelo vetor v=(2,3); devemos usar o versor (ou unitário) obtido a partir de v.

Passo 2

O que é um versor e como construí-lo: um versor \mathbf{u} na direção de um vetor \mathbf{v} é o vetor \mathbf{v} dividido pela sua norma, isto é,
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
Primeiro calculo a norma de \mathbf{v}=(2,3):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Portanto o versor é
\mathbf{u}=\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\;\frac{3}{\sqrt{13}}\right).

Passo 3

Definição prática da derivada direcional que vamos usar: se f é diferenciável no ponto a=(x_{0},y_{0}), então a derivada direcional de f em a na direção do versor \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) é o produto escalar do gradiente de f em a com \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(a)=\nabla f(a)\cdot\mathbf{u}.
Explicando: o gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais,
\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Então preciso calcular as derivadas parciais de f e avaliá-las em (-1,1), e depois fazer o produto escalar com \mathbf{u}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2(x^{2}+y^{2})^{-1}. Uso a regra da cadeia e a regra do poder:
\frac{\partial f}{\partial x} =2\cdot(-1)\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) =2\cdot(-1)\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot(2x).
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial x}=-4x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}.
De maneira análoga para y:
\frac{\partial f}{\partial y}=-4y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}.

Passo 5

Avalio as derivadas parciais no ponto (-1,1). Primeiro x^{2}+y^{2}=(-1)^{2}+1^{2}=1+1=2. Logo (x^{2}+y^{2})^{2}=2^{2}=4.
Agora:
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,1)=-4\cdot(-1)\cdot\frac{1}{4}= \frac{4}{4}=1,
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,1)=-4\cdot(1)\cdot\frac{1}{4}= -\frac{4}{4}= -1.
Portanto o gradiente no ponto é
\displaystyle \nabla f(-1,1)=(1,-1).

Passo 6

Calculo a derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(-1,1)=\nabla f(-1,1)\cdot\mathbf{u} =(1,-1)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}}\right).
Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(-1,1)=1\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}+(-1)\cdot\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{2-3}{\sqrt{13}}=\,-\frac{1}{\sqrt{13}}.

Passo 7

Interpretação rápida (motivação para a prova): o valor negativo significa que, ao nos movermos a partir de (-1,1) na direção dada por v, a função f diminui naquele instante; o módulo \dfrac{1}{\sqrt{13}} é a taxa de variação por unidade de comprimento ao longo dessa direção. Força aí — você já tem a técnica: calcular o versor, achar o gradiente e usar o produto escalar.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{13}}

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