Calcule \vec{u} \wedge \vec{v} e \vec{v} \wedge \vec{u} nos casos:
\vec{u}=(6,-2,4), \vec{v}=(-1,-2,1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(6,-2,4) e \vec{v}=(-1,-2,1) e pede os dois produtos vetoriais \vec{u}\wedge\vec{v} e \vec{v}\wedge\vec{u}. Vou calcular passo a passo e ensinar a fórmula para você poder repetir isso na prova.

Passo 2

Definição e fórmula prática. O produto vetorial \vec{u}\wedge\vec{v} (também escrito \vec{u}\times\vec{v}) é um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v}. Em coordenadas, se
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
então a fórmula coordenada é
\vec{u}\wedge\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Explicando cada termo: o primeiro componente usa as coordenadas 2 e 3 de u e v, o segundo usa 3 e 1, o terceiro usa 1 e 2. Essa fórmula vem do desenvolvimento do determinante com a base \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} — na prova, decorar essa expressão ou o padrão cíclico ajuda muito.

Passo 3

Aplicando a fórmula para o primeiro componente de \vec{u}\wedge\vec{v}:
\text{1ª componente} = u_2v_3-u_3v_2 = (-2)\cdot 1 - 4\cdot(-2).ª
Calculemos:
(-2)\cdot 1 = -2,\qquad 4\cdot(-2)=-8,
portanto
-2 - (-8) = -2 + 8 = 6.

Passo 4

Segundo componente de \vec{u}\wedge\vec{v}:
\text{2ª componente} = u_3v_1-u_1v_3 = 4\cdot(-1) - 6\cdot 1.ª
Calculemos:
4\cdot(-1) = -4,\qquad 6\cdot 1 = 6,
portanto
-4 - 6 = -10.

Passo 5

Terceiro componente de \vec{u}\wedge\vec{v}:
\text{3ª componente} = u_1v_2-u_2v_1 = 6\cdot(-2) - (-2)\cdot(-1).ª
Calculemos:
6\cdot(-2) = -12,\qquad (-2)\cdot(-1)=2,
portanto
-12 - 2 = -14.

Passo 6

Reunindo as componentes, obtemos
\vec{u}\wedge\vec{v} = (6,-10,-14).
Uma forma rápida de ver se não deu bobagem: verifique se esse vetor é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} calculando os produtos escalares
\vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) = 6\cdot 6 + (-2)\cdot(-10) + 4\cdot(-14) = 36 + 20 -56 = 0,
\vec{v}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) = (-1)\cdot 6 + (-2)\cdot(-10) + 1\cdot(-14) = -6 +20 -14 = 0.
Como os dois dão 0, o resultado está consistente (produto vetorial deve ser perpendicular aos dois).

Passo 7

Propriedade de anti-comutatividade. Para qualquer par de vetores vale
\vec{v}\wedge\vec{u} = -(\vec{u}\wedge\vec{v}).
Portanto, basta trocar o sinal de cada componente:
\vec{v}\wedge\vec{u}=(-6,10,14).
Se preferir, pode calcular diretamente pela fórmula e encontrará o mesmo resultado (confirmando a propriedade).

Resposta

\vec{u}\wedge\vec{v}=(6,-10,-14)
\vec{v}\wedge\vec{u}=(-6,10,14)

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