São dadas as coordenadas de \vec{u} e \vec{v} em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre \vec{u} e \vec{v} :
\vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) e \vec{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 3\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • São dadas as coordenadas, em relação a uma base ortonormal fixa, das duas grandezas vetoriais:
    \vec{u}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\dfrac{1}{2},\,0\right) e \vec{v}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\dfrac{1}{2},\,3\right).
  • O enunciado pede a medida do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} em radianos.

Passo 2

Comentário didático sobre o método (fórmula que vamos usar):
  • Em uma base ortonormal, o produto interno (ou produto escalar) de dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto dá um número real que relaciona os vetores.
  • A norma (ou comprimento) de um vetor \vec{a} é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
  • A relação entre produto escalar e ângulo \theta entre \vec{a} e \vec{b} é a fórmula fundamental
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}.
Aqui \theta é o ângulo entre os vetores, com 0\le\theta\le\pi. Então, para achar \theta basta calcular \vec{u}\cdot\vec{v}, \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|, substituir e aplicar \operatorname{arccos}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}:
Usando as componentes,
\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right)+0\cdot 3.
Agora calculando cada termo:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4},\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},\qquad 0\cdot 3=0.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+0=1.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|:
Para \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+0^2} =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1.
Para \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+3^2} =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+9} =\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\frac{1}{1\cdot\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Logo
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right).
Uma observação útil (que ajuda a entender a forma do ângulo): \sin\theta=\sqrt{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}, então
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}}=3,
portanto \theta=\arctan 3. Ambas as expressões são equivalentes e dão o mesmo ângulo (número em [0,\tfrac{\pi}{2})).
Valor numérico aproximado (em radianos):
\theta\approx 1{,}249045772\\ \text{rad}.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)=\arctan(3)\approx 1{,}249045772

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