São dadas as coordenadas de \vec{u} e \vec{v} em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre \vec{u} e \vec{v} : \vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) e \vec{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 3\right).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
São dadas as coordenadas, em relação a uma base ortonormal fixa, das duas grandezas vetoriais: \vec{u}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\dfrac{1}{2},\,0\right) e \vec{v}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\dfrac{1}{2},\,3\right).
O enunciado pede a medida do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} em radianos.
Passo 2
Comentário didático sobre o método (fórmula que vamos usar):
Em uma base ortonormal, o produto interno (ou produto escalar) de dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto dá um número real que relaciona os vetores.
A norma (ou comprimento) de um vetor \vec{a} é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
A relação entre produto escalar e ângulo \theta entre \vec{a} e \vec{b} é a fórmula fundamental
Aqui \theta é o ângulo entre os vetores, com 0\le\theta\le\pi. Então, para achar \theta basta calcular \vec{u}\cdot\vec{v}, \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|, substituir e aplicar \operatorname{arccos}.