Calcule as derivadas de:
f(r)=t g^{3}(r)+t g\left(r^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f em relação a r, onde
f(r)=t\,(g(r))^{3}+t\,g\bigl(r^{3}\bigr).
Informações dadas (ou assumidas para poder derivar):
  • t é um parâmetro que não depende de r (ou seja, é uma constante em relação a r).
  • g é uma função de variável real diferenciável (precisamos de g'(x) existir) para que a derivada seja calculável.
    A tarefa é computar f'(r).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que usaremos (mini-aula rápida e prática):
  • Regra da constante: se c é constante e h(r) é uma função, então \dfrac{d}{dr}\bigl[c\,h(r)\bigr]=c\,h'(r). Ou seja, constantes saem da derivada.
  • Regra da cadeia (forma prática): se você tem uma composição H(r)=F(U(r)), então
H'(r)=F'\bigl(U(r)\bigr)\cdot U'(r).
Isto significa: derive a função externa F em relação à sua variável interna e multiplique pela derivada da função interna U.
  • Regra da potência composta (caso comum da cadeia): se H(r)=(u(r))^{n} com n constante, então
H'(r)=n\,(u(r))^{\,n-1}\cdot u'(r).
Aqui u'(r) é a derivada da função interna u(r).
Vou usar essas regras passo a passo nas duas parcelas de f(r).

Passo 3

Derivada da primeira parcela t\,(g(r))^{3}.
Aplicando a regra da constante (fator t sai) e a regra da potência composta com u(r)=g(r) e n=3:
\frac{d}{dr}\bigl[t\,(g(r))^{3}\bigr]=t\cdot \frac{d}{dr}\bigl((g(r))^{3}\bigr).
Pela regra da potência composta,
\frac{d}{dr}\bigl((g(r))^{3}\bigr)=3\,(g(r))^{2}\cdot g'(r).
Portanto a derivada da primeira parcela é
t\cdot 3\,(g(r))^{2}\,g'(r).

Passo 4

Derivada da segunda parcela t\,g\bigl(r^{3}\bigr).
Novamente a constante t sai:
\frac{d}{dr}\bigl[t\,g(r^{3})\bigr]=t\cdot \frac{d}{dr}\bigl(g(r^{3})\bigr).
Aqui temos uma composição com função externa g(u) e função interna u(r)=r^{3}. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dr}\bigl(g(r^{3})\bigr)=g'\bigl(r^{3}\bigr)\cdot \frac{d}{dr}\bigl(r^{3}\bigr).
A derivada de r^{3} é 3r^{2}. Logo
\frac{d}{dr}\bigl(g(r^{3})\bigr)=g'\bigl(r^{3}\bigr)\cdot 3r^{2}.
Portanto a derivada da segunda parcela é
t\cdot 3r^{2}\,g'\bigl(r^{3}\bigr).

Passo 5

Somando as derivadas das duas parcelas (regra da soma das derivadas):
f'(r)=t\cdot 3\,(g(r))^{2}\,g'(r)+t\cdot 3r^{2}\,g'\bigl(r^{3}\bigr).
Podemos fatorar 3t para deixar mais compacto:
f'(r)=3t\Bigl((g(r))^{2}\,g'(r)+r^{2}\,g'\bigl(r^{3}\bigr)\Bigr).
Aqui g'(x) denota a derivada de g em x; por exemplo g'(r) é a derivada de g avaliada em r e g'(r^{3}) é a derivada de g avaliada em r^{3}.

Passo 6

Exemplo rápido para checar se fez sentido (só para ilustrar, não influencia a resposta final):
Escolhendo g(x)=x^{2} e t=1,
  • g(r) = r^{2}, g'(r)=2r, g'(r^{3})=2r^{3}.
    Aplicando a fórmula:
f'(r)=3\bigl(r^{2}\bigr)^{2}\cdot 2r + 3r^{2}\cdot 2r^{3} =3\cdot r^{4}\cdot 2r + 3r^{2}\cdot 2r^{3} =6r^{5}+6r^{5}=12r^{5},
o que coincide com a derivada direta de f(r)= (r^{2})^{3}+g(r^{3}) neste exemplo — bom sinal de consistência.

Resposta

f'(r)=3t\Bigl((g(r))^{2}\,g'(r)+r^{2}\,g'\bigl(r^{3}\bigr)\Bigr).

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