Calcule as derivadas de:
’
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
em relação a
, onde
Informações dadas (ou assumidas para poder derivar):
-
é um parâmetro que não depende de (ou seja, é uma constante em relação a ). -
é uma função de variável real diferenciável (precisamos de existir) para que a derivada seja calculável.
A tarefa é computar.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que usaremos (mini-aula rápida e prática):
- Regra da constante: se
é constante e é uma função, então . Ou seja, constantes saem da derivada. - Regra da cadeia (forma prática): se você tem uma composição
, então
Isto significa: derive a função externa
em relação à sua variável interna e multiplique pela derivada da função interna
.
- Regra da potência composta (caso comum da cadeia): se
com constante, então
Aqui
é a derivada da função interna
.
Vou usar essas regras passo a passo nas duas parcelas de
.
Passo 3
Derivada da primeira parcela
.
Aplicando a regra da constante (fator
sai) e a regra da potência composta com
e
:
Pela regra da potência composta,
Portanto a derivada da primeira parcela é
Passo 4
Derivada da segunda parcela
.
Novamente a constante
sai:
Aqui temos uma composição com função externa
e função interna
. Pela regra da cadeia:
A derivada de
é
. Logo
Portanto a derivada da segunda parcela é
Passo 5
Somando as derivadas das duas parcelas (regra da soma das derivadas):
Podemos fatorar
para deixar mais compacto:
Aqui
denota a derivada de
em
; por exemplo
é a derivada de
avaliada em
e
é a derivada de
avaliada em
.
Passo 6
Exemplo rápido para checar se fez sentido (só para ilustrar, não influencia a resposta final):
Escolhendo e
,
Escolhendo
-
, , .
Aplicando a fórmula:
o que coincide com a derivada direta de
neste exemplo — bom sinal de consistência.