Calcule as derivadas de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
Informações dadas:
Vou calcular a derivada primeira
e a derivada segunda
sem pedir nada a mais.
Passo 2
Escolha do método e regras que vamos usar. Vou reescrever a função como produto para aplicar regras mais simples:
Regras que usaremos (explicando cada uma):
- Regra do produto: se
e são funções, . Aqui e (ou podemos tirar o sinal negativo fora, como farei). - Regra da cadeia: se
é função de , então . Usamos para derivar . - Regra do poder:
. Aplicada para . - Derivadas trigonométricas básicas:
e .
Também usarei a identidade trigonométrica útilpara simplificar.
Passo 3
Derivando a primeira vez. Componho melhor as peças:
Calculo
e
:
Para
uso regra da cadeia:
.
Agora aplico a regra do produto (lembrando do sinal negativo inicial):
Agora aplico a regra do produto (lembrando do sinal negativo inicial):
Substituindo:
Distribuindo o sinal:
Passo 4
Coloco
numa forma de fração mais direta (opção útil em prova):
ou reunindo num único denominador
Qualquer uma dessas formas está correta; a primeira costuma ser mais clara para derivar de novo.
Passo 5
Agora derivamos a segunda vez. Parto de
com
Vou calcular
e
separadamente e depois faço
.
Passo 6
Derivo
usando regra do produto:
Então
Passo 7
Derivo
também por produto:
Então
Passo 8
Agora monto
. Substituo
e
:
Fatorando
e, se quiser,
:
ou