Calcule as derivadas de:
f(x)=-\frac{\sin ^{2}(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função
f(x) = -\frac{\sin^{2}(x)}{x}.
Informações dadas:
f(x) = -\frac{\sin^{2}(x)}{x}.
Vou calcular a derivada primeira f'(x) e a derivada segunda f''(x) sem pedir nada a mais.

Passo 2

Escolha do método e regras que vamos usar. Vou reescrever a função como produto para aplicar regras mais simples:
f(x) = -x^{-1}\sin^{2}(x).
Regras que usaremos (explicando cada uma):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (u v)' = u' v + u v'. Aqui u(x)= -x^{-1} e v(x)=\sin^{2}(x) (ou podemos tirar o sinal negativo fora, como farei).
  • Regra da cadeia: se g é função de h(x), então (g(h(x)))' = g'(h(x))\cdot h'(x). Usamos para derivar \sin^{2}(x) = (\sin x)^2.
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1}. Aplicada para x^{-1}.
  • Derivadas trigonométricas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
    Também usarei a identidade trigonométrica útil 2\sin x\cos x = \sin(2x) para simplificar.

Passo 3

Derivando a primeira vez. Componho melhor as peças:
f(x) = -u(x)v(x),\quad u(x)=x^{-1},\quad v(x)=\sin^{2}(x).
Calculo u'(x) e v'(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}x^{-1} = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.
Para v(x)=(\sin x)^2 uso regra da cadeia: v'(x)=2\sin x\cdot(\cos x)=2\sin x\cos x=\sin(2x).
Agora aplico a regra do produto (lembrando do sinal negativo inicial):
f'(x) = -\big(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\big).
Substituindo:
f'(x) = -\big((-x^{-2})\sin^{2}x + x^{-1}\sin(2x)\big).
Distribuindo o sinal:
f'(x) = x^{-2}\sin^{2}x - x^{-1}\sin(2x).

Passo 4

Coloco f'(x) numa forma de fração mais direta (opção útil em prova):
f'(x) = \frac{\sin^{2}x}{x^{2}} - \frac{\sin(2x)}{x}
ou reunindo num único denominador
f'(x) = \frac{\sin^{2}x - x\sin(2x)}{x^{2}}.
Qualquer uma dessas formas está correta; a primeira costuma ser mais clara para derivar de novo.

Passo 5

Agora derivamos a segunda vez. Parto de
f'(x) = A(x) - B(x),
com
A(x)=x^{-2}\sin^{2}x,\qquad B(x)=x^{-1}\sin(2x).
Vou calcular A'(x) e B'(x) separadamente e depois faço f''(x)=A'(x)-B'(x).

Passo 6

Derivo A(x)=x^{-2}\sin^{2}x usando regra do produto:
a(x)=x^{-2},\quad b(x)=\sin^{2}x,\quad a'(x)=-2x^{-3},\quad b'(x)=\sin(2x).
Então
A'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x) = (-2x^{-3})\sin^{2}x + x^{-2}\sin(2x).

Passo 7

Derivo B(x)=x^{-1}\sin(2x) também por produto:
c(x)=x^{-1},\quad d(x)=\sin(2x),\quad c'(x)=-x^{-2},\quad d'(x)=2\cos(2x).
Então
B'(x)=c'(x)d(x)+c(x)d'(x) = (-x^{-2})\sin(2x) + x^{-1}\cdot 2\cos(2x).

Passo 8

Agora monto f''(x)=A'(x)-B'(x). Substituo A'(x) e B'(x):
\begin{aligned} f''(x) &= \big((-2x^{-3})\sin^{2}x + x^{-2}\sin(2x)\big) - \big((-x^{-2})\sin(2x) + 2x^{-1}\cos(2x)\big)\\[4pt] &= -2x^{-3}\sin^{2}x + x^{-2}\sin(2x) + x^{-2}\sin(2x) - 2x^{-1}\cos(2x)\\[4pt] &= -2x^{-3}\sin^{2}x + 2x^{-2}\sin(2x) - 2x^{-1}\cos(2x). \end{aligned}
Fatorando 2 e, se quiser, x^{-3}:
f''(x) = 2\Big(-x^{-3}\sin^{2}x + x^{-2}\sin(2x) - x^{-1}\cos(2x)\Big)
ou
f''(x) = \frac{2}{x^{3}}\big(-\sin^{2}x + x\sin(2x) - x^{2}\cos(2x)\big).]

Resposta

f'(x)=\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}-\frac{\sin(2x)}{x}
f''(x)=-2\frac{\sin^{2}x}{x^{3}}+2\frac{\sin(2x)}{x^{2}}-2\frac{\cos(2x)}{x}

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