Calcule as derivadas de:
h(t)=\cos ^{2}\left(1-t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de h(t)=\cos^{2}\left(1-t^{2}\right).\n
Informações dadas:
  • A função é h(t)=\cos^{2}\left(1-t^{2}\right).
  • A tarefa é encontrar h'(t), a derivada de h em função de t.\n
    Nada mais foi pedido (por exemplo valores numéricos ou avaliação em pontos); vamos encontrar a expressão geral de h'(t).

Passo 2

Vamos simplificar a escrita para visualizar as camadas de composição. Definimos uma função intermediária
u(t)=\cos\bigl(1-t^{2}\bigr).
Assim podemos escrever
h(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{2}.
Isto deixa claro que h é uma composição de uma potência \bigl(\,\cdot\,\bigr)^{2} aplicada a u(t).

Passo 3

Relembrando uma regra básica (a que vamos usar aqui): a derivada de uma função quadrática composta w(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{2} é dada por
w'(t)=2\,u(t)\,u'(t).
Explicação didática: isso é a aplicação da regra da cadeia ao caso f(x)=x^{2} e x=u(t). A derivada de x^{2} em relação a x é 2x; depois multiplicamos pela derivada de x em relação a t, que é u'(t).

Passo 4

Aplicando a regra do passo anterior a h(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{2}, obtemos
h'(t)=2\,u(t)\,u'(t).
Agora precisamos calcular u'(t), onde lembramos que u(t)=\cos\bigl(1-t^{2}\bigr).

Passo 5

Calculemos u'(t). Note que u é uma composição de \cos com v(t)=1-t^{2}. Usando a regra da cadeia novamente:
  • A derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x).
  • A derivada de v(t)=1-t^{2} em relação a t é v'(t)=-2t.\n
    Logo
u'(t)=\bigl(\cos(v(t))\bigr)'=-\sin\bigl(v(t)\bigr)\cdot v'(t).
Substituindo v(t)=1-t^{2} e v'(t)=-2t,
u'(t)=-\sin\bigl(1-t^{2}\bigr)\cdot(-2t)=2t\,\sin\bigl(1-t^{2}\bigr).
Explicação do sinal: o menos da derivada do cosseno multiplicou o menos da derivada de 1-t^{2}, resultando em sinal positivo.

Passo 6

Voltemos a h'(t)=2\,u(t)\,u'(t). Substituindo u(t)=\cos\bigl(1-t^{2}\bigr) e u'(t)=2t\,\sin\bigl(1-t^{2}\bigr),
h'(t)=2\cdot\cos\bigl(1-t^{2}\bigr)\cdot\bigl(2t\,\sin\bigl(1-t^{2}\bigr)\bigr).
Multiplicando os fatores:
h'(t)=4t\,\cos\bigl(1-t^{2}\bigr)\,\sin\bigl(1-t^{2}\bigr).

Passo 7

Podemos deixar a resposta ainda mais compacta usando a identidade trigonométrica
2\sin x\cos x=\sin(2x).
Aplicando com x=1-t^{2}, temos 2\sin\bigl(1-t^{2}\bigr)\cos\bigl(1-t^{2}\bigr)=\sin\bigl(2(1-t^{2})\bigr). Assim
4t\,\cos\bigl(1-t^{2}\bigr)\,\sin\bigl(1-t^{2}\bigr)=2t\,\sin\bigl(2(1-t^{2})\bigr).
Dica prática para prova: ao ver algo do tipo \cos^{2}(\text{algo}), pense em definir a parte interna como uma função intermediária; derive a potência (2 vezes interna vezes derivada da interna) e prossiga camada por camada.

Resposta

h'(t)=2t\,\sin\bigl(2(1-t^{2})\bigr)

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