Calcule as derivadas de:
’
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .\n
Nada mais foi pedido (por exemplo valores numéricos ou avaliação em pontos); vamos encontrar a expressão geral de.
Passo 2
Vamos simplificar a escrita para visualizar as camadas de composição. Definimos uma função intermediária
Assim podemos escrever
Isto deixa claro que
é uma composição de uma potência
aplicada a
.
Passo 3
Relembrando uma regra básica (a que vamos usar aqui): a derivada de uma função quadrática composta
é dada por
Explicação didática: isso é a aplicação da regra da cadeia ao caso
e
. A derivada de
em relação a
é
; depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 4
Aplicando a regra do passo anterior a
, obtemos
Agora precisamos calcular
, onde lembramos que
.
Passo 5
Calculemos
. Note que
é uma composição de
com
. Usando a regra da cadeia novamente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .\n
Logo
Substituindo
e
,
Explicação do sinal: o menos da derivada do cosseno multiplicou o menos da derivada de
, resultando em sinal positivo.
Passo 6
Voltemos a
. Substituindo
e
,
Multiplicando os fatores:
Passo 7
Podemos deixar a resposta ainda mais compacta usando a identidade trigonométrica
Aplicando com
, temos
. Assim
Dica prática para prova: ao ver algo do tipo
, pense em definir a parte interna como uma função intermediária; derive a potência (2 vezes interna vezes derivada da interna) e prossiga camada por camada.