Calcule as derivadas para f(t) abaixo:
(f) t+1tsen(t)

Passo 1

Neste exercício vamos derivar a função f(t)=t+1t,sin(t). O conteúdo envolvido é a regra do quociente e, para o denominador, a regra do produto.

Passo 2

Identificamos o numerador e denominador:
Derivada do numerador:
u(t)=t+1, u'(t)=1
Derivada do denominador:
v(t)=t,sin(t), v'(t)=ddt[t,sin(t)] =sin(t)+t,cos(t)

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(t)=u'(t),v(t)-u(t),v'(t)[v(t)]^2
Substituindo as expressões encontradas:
f'(t)=1cdot[t,sin(t)]-(t+1)[sin(t)+t,cos(t)](t,sin(t))^2

Passo 4

Expandimos o numerador:
t,sin(t)-(t+1),sin(t)-(t+1),t,cos(t) =t,sin(t)-t,sin(t)-sin(t)-t^2,cos(t)-t,cos(t) =-sin(t)-t,cos(t)-t^2,cos(t)

Passo 5

Logo, a derivada é
f'(t)=-sin(t)-t,cos(t)-t^2,cos(t)t^2,sin^2(t)

Passo 6

Podemos fatorar o sinal negativo para ficar mais compacto:
f'(t)=-sin(t)+t,cos(t)+t^2,cos(t)t^2,sin^2(t)

Resposta

-\frac{\sin(t)+t,\cos(t)+t2,\cos(t)}{t2,\sin^2(t)}

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