Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
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Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a função racional
: encontrar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, investigar onde cresce/decresce e concavidade, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o domínio e as assíntotas. Como o denominador não pode ser zero, o domínio é
. Isso gera uma assíntota vertical em
Para a assíntota horizontal, olhamos os graus do numerador e do denominador (ambos de grau 1). A assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes líderes:
Passo 3
Agora calculamos a primeira derivada usando a regra do quociente. Se
, então
Aqui
e
, logo
Como
para todo
, temos
em cada parte do domínio, isto é, a função é crescente em
e em
. Para pontos críticos procuramos onde
ou indefinida: nunca zero e é indefinida apenas em
, que não está no domínio. Logo, não há pontos críticos.
Passo 4
Para investigar concavidade, calculamos a segunda derivada. Derivando
:
O sinal de
diz onde é côncavo para cima (
) ou para baixo (
). Para
,
faz
, então
(côncavo para cima). Para
,
faz
(côncavo para baixo). Como
nunca zera em domínio, não há pontos de inflexão.
Passo 5
Para completar o esboço, achamos os interceptos: • Intercepto em
: basta
, logo
. • Intercepto em
: em
,
, logo
. Então o gráfico é uma hipérbole com ramo para cima em
e ramo que cruza o eixo em
e cai para baixo em
, aproximando-se de
depois de
.
Passo 6
Com todos esses elementos (assíntotas, comportamento nos intervalos, pontos notáveis e concavidade) desenhamos uma hipérbole deslocada, confirmando o esboço pedido.
Resposta
Domínio:
. Assíntota vertical:
. Assíntota horizontal:
.
Derivada:
⇒ função crescente em
e em
. Sem pontos críticos no domínio.
Segunda derivada:
⇒ côncava para cima em
, côncava para baixo em
. Sem pontos de inflexão.
Interceptos:
e
.