Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=x-8x-3;

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a função racional f(x)=x-8x-3: encontrar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, investigar onde cresce/decresce e concavidade, e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o domínio e as assíntotas. Como o denominador não pode ser zero, o domínio é xneq3. Isso gera uma assíntota vertical em
x=3
Para a assíntota horizontal, olhamos os graus do numerador e do denominador (ambos de grau 1). A assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes líderes:
y=1

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada usando a regra do quociente. Se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=x-8 e v(x)=x-3, logo
f'(x)=1cdot(x-3)-(x-8)cdot1(x-3)^2=5(x-3)^2
Como (x-3)^2>0 para todo xneq3, temos f'(x)>0 em cada parte do domínio, isto é, a função é crescente em (-infty,3) e em (3,infty). Para pontos críticos procuramos onde f'(x)=0 ou indefinida: nunca zero e é indefinida apenas em x=3, que não está no domínio. Logo, não há pontos críticos.

Passo 4

Para investigar concavidade, calculamos a segunda derivada. Derivando f'(x)=5(x-3)^-2:
f''(x)=5cdot(-2)(x-3)^-3=-10(x-3)^3
O sinal de f''(x) diz onde é côncavo para cima ( f''>0) ou para baixo ( f''<0). Para x<3, x-3<0 faz (x-3)^3<0, então f''(x)>0 (côncavo para cima). Para x>3, x-3>0 faz f''(x)<0 (côncavo para baixo). Como f''(x) nunca zera em domínio, não há pontos de inflexão.

Passo 5

Para completar o esboço, achamos os interceptos: • Intercepto em x: basta x-8=0, logo (8,0). • Intercepto em y: em x=0, f(0)=(-8)/(-3)=8/3, logo (0,8/3). Então o gráfico é uma hipérbole com ramo para cima em x<3 e ramo que cruza o eixo em (8,0) e cai para baixo em 3, aproximando-se de y=1 depois de x>8.

Passo 6

Com todos esses elementos (assíntotas, comportamento nos intervalos, pontos notáveis e concavidade) desenhamos uma hipérbole deslocada, confirmando o esboço pedido.

Resposta

Domínio: xneq3. Assíntota vertical: x=3. Assíntota horizontal: y=1.
Derivada: f'(x)=5/(x-3)^2>0 ⇒ função crescente em (-infty,3) e em (3,infty). Sem pontos críticos no domínio.
Segunda derivada: f''(x)=-10/(x-3)^3 ⇒ côncava para cima em (-infty,3), côncava para baixo em (3,infty). Sem pontos de inflexão.
Interceptos: (8,0) e (0,8/3).

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