Encontre a primitiva.
integral x^4+1x(x^2+1)^2 d x.

Passo 1

A integral que precisamos resolver é integral x^4+1x,(x^2+1)^2,dx. Esse é um caso clássico de fração racional em que o denominador tem fator linear x e fator quadrático repetido (x^2+1)^2. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escrevemos a fração original como soma de termos mais simples:

Passo 3

Igualando numeradores e expandindo, temos

Passo 4

Isso gera o sistema de equações para os coeficientes:

Passo 5

Daí obtemos A=1, B=0, C=0, D=-2 e E=0. Substituindo de volta,

Passo 6

Agora dividimos a integral em duas partes:
$$\n\int \frac{1}{x},dx ;-
\int \frac{2x}{(x{2}+1){2}},dx.$$

Passo 7

A primeira parte é integral!1/x,dx=ln|x|. Para a segunda, usamos a substituição u=x^2+1, de modo que du=2x,dx. Então

Resposta

ln|x| + 1x^2+1 + C

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