Encontre a primitiva.
.
Passo 1
A integral que precisamos resolver é
. Esse é um caso clássico de fração racional em que o denominador tem fator linear
e fator quadrático repetido
. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Escrevemos a fração original como soma de termos mais simples:
Passo 3
Igualando numeradores e expandindo, temos
Passo 4
Isso gera o sistema de equações para os coeficientes:
Passo 5
Daí obtemos
,
,
,
e
. Substituindo de volta,
Passo 6
Agora dividimos a integral em duas partes:
$$\n\int \frac{1}{x},dx ;-
\int \frac{2x}{(x{2}+1){2}},dx.$$
Passo 7
A primeira parte é
. Para a segunda, usamos a substituição
, de modo que
. Então