Calcule as derivadas
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar o logaritmo natural e a função seno, além de aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função
é o logaritmo natural da função seno de
, tudo isso elevado ao cubo. Ou seja, temos uma função dentro de outra:
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Aqui, derivamos o lado de fora
em relação a
, que nos dá
, e multiplicamos pela derivada do interior
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Sabemos que a derivada de
é
. No nosso caso,
, então:
Passo 6
Finalmente, substituímos essa derivada de volta na expressão que tínhamos no Passo 4:
Resposta
A derivada da função é
.