Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y'' - 5y' + 6y = e^x, y(0) = 1, y'(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde r é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvemos essa equação característica:

Passo 4

Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é e^x, tentamos uma solução da forma:
onde A é uma constante a ser encontrada.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, vamos usar y(0) = 1:
Agora, calculamos a derivada de y(x):
Aplicamos a condição :
Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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