Calcule as derivadas das funções abaixo:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é dada por
. - A expressão
exige ; portanto a função está definida para . - Vamos procurar
para os pontos onde a derivada existe (principalmente para ); depois verificamos o caso .
Passo 2
Ideia de resolução (ferramenta principal): usar a regra da cadeia. Vou enunciá-la com clareza para você gravar:
Aqui
é a função interna e
a função externa; a derivada de
é o produto da derivada externa avaliada na interna pela derivada da interna.
Passo 3
Identificar interna e externa na nossa função:
- Função interna:
. - Função externa:
(ou seja, com variável ).
Passo 4
Derivada da função externa
:
- Regra conhecida: a derivada do seno em relação ao argumento é o cosseno.
Explicação rápida e intuitiva: pequenas variações em
mudam
com taxa aproximada
; isso é a derivada padrão do seno.
Passo 5
Derivada da função interna
:
- Reescreve como potência:
. - Aplica a regra da potência
:
Observação importante: essa expressão só faz sentido (como número finito) quando
. Em
a quantidade
diverge.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados:
Simplificando a escrita:
Passo 7
Analisar o ponto
(diferenciabilidade em
):
- Pela expressão encontrada, a tentativa de avaliar em
dá divisão por zero, logo a forma fechada não fornece derivada finita em . - Pela definição do quociente diferencial:
Para
usa-se
, então o quociente se comporta como
. Portanto a derivada lateral direita não é finita e a função não é diferenciável em
.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: em
temos
, então
Resposta
A função não é diferenciável em