Calcule as derivadas das funções abaixo:
(c) f(x)=\operatorname{sen}(\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \displaystyle f(x)=\operatorname{sen}(\sqrt{x}).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é dada por \displaystyle f(x)=\operatorname{sen}(\sqrt{x}).
  • A expressão \displaystyle \sqrt{x} exige x\ge 0; portanto a função está definida para x\ge 0.
  • Vamos procurar f'(x) para os pontos onde a derivada existe (principalmente para x>0); depois verificamos o caso x=0.

Passo 2

Ideia de resolução (ferramenta principal): usar a regra da cadeia. Vou enunciá-la com clareza para você gravar:
\text{Se }F(x)=H(U(x))\text{, então }F'(x)=H'\big(U(x)\big)\cdot U'(x).ã
Aqui U(x) é a função interna e H(u) a função externa; a derivada de F é o produto da derivada externa avaliada na interna pela derivada da interna.

Passo 3

Identificar interna e externa na nossa função:
  • Função interna: \displaystyle U(x)=\sqrt{x}.
  • Função externa: \displaystyle H(u)=\operatorname{sen}(u) (ou seja, H=\sin com variável u).

Passo 4

Derivada da função externa H(u)=\operatorname{sen}(u):
  • Regra conhecida: a derivada do seno em relação ao argumento é o cosseno.
H'(u)=\cos(u).
Explicação rápida e intuitiva: pequenas variações em u mudam \operatorname{sen}(u) com taxa aproximada \cos(u); isso é a derivada padrão do seno.

Passo 5

Derivada da função interna \displaystyle U(x)=\sqrt{x}:
  • Reescreve como potência: \displaystyle U(x)=x^{1/2}.
  • Aplica a regra da potência \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}:
U'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação importante: essa expressão só faz sentido (como número finito) quando x>0. Em x=0 a quantidade \dfrac{1}{2\sqrt{x}} diverge.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados:
f'(x)=H'\big(U(x)\big)\cdot U'(x)=\cos\big(\sqrt{x}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Simplificando a escrita:
f'(x)=\frac{\cos\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}}\qquad (x>0).

Passo 7

Analisar o ponto x=0 (diferenciabilidade em 0):
  • Pela expressão encontrada, a tentativa de avaliar em x=0 dá divisão por zero, logo a forma fechada não fornece derivada finita em 0.
  • Pela definição do quociente diferencial:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\operatorname{sen}(\sqrt{h})-0}{h}=\frac{\operatorname{sen}(\sqrt{h})}{h}.
Para h\to 0^+ usa-se \operatorname{sen}(\sqrt{h})\sim \sqrt{h}, então o quociente se comporta como \dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}\to +\infty. Portanto a derivada lateral direita não é finita e a função não é diferenciável em x=0.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: em x=4 temos \sqrt{4}=2, então
f'(4)=\frac{\cos(2)}{2\cdot 2}=\frac{\cos(2)}{4}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{\cos\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}}\quad (x>0).
A função não é diferenciável em \displaystyle x=0.

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