Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a) f(x)=\ln (x), \quad x>0

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\ln(x) com domínio x>0. A pergunta é: calcular a derivada f'(x) para x>0.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=\ln(x).
  • Domínio: x>0.
  • Pedido: f'(x) (a derivada da função em relação a x).

Passo 2

Lembrando o que é derivada: a derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x e pode ser definida pela diferença quociente
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui x é o ponto onde queremos a derivada e h é o incremento pequeno que tende a zero. Vou usar esse conceito para justificar a resposta, mas primeiro uso um método muito prático e direto.

Passo 3

Usarei diferenciação implícita explorando que \ln e e^x são funções inversas. Defina
y=\ln(x).
Por definição de função inversa temos
e^{y}=x.
Agora diferenciamos essa igualdade em relação a x. Preciso explicar cuidadosamente o passo de diferenciação: a expressão e^{y} é uma composição de e^{(\cdot)} com y(x), então, ao derivar em relação a x, aplicamos a regra da cadeia.

Passo 4

Diferenciando e^{y}=x em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=\frac{d}{dx}(x).
Pelo lado direito \frac{d}{dx}(x)=1. Pelo lado esquerdo, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=e^{y}\cdot\frac{dy}{dx}.
Assim
e^{y}\cdot\frac{dy}{dx}=1.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{y}}.

Passo 5

Volto da variável y para x usando e^{y}=x. Substituindo na expressão anterior:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.
Como y=\ln(x), isto significa que
\boxed{f'(x)=\frac{1}{x}\quad\text{para }x>0.}
Explicação do domínio: a expressão \frac{1}{x} só está definida para x\neq 0; como o domínio original era x>0, a derivada vale para todo x>0.

Passo 6

(Argumento alternativo via definição de derivada, para consolidar a intuição.) Usando a definição de limite:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}.
Aplicando propriedades do logaritmo:
\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\frac{\ln\!\big(\dfrac{x+h}{x}\big)}{h}=\frac{\ln\!\big(1+\dfrac{h}{x}\big)}{h}.
Colocando u=\dfrac{h}{x} (quando h\to 0 então u\to 0) temos
\frac{\ln\!\big(1+\dfrac{h}{x}\big)}{h}=\frac{1}{x}\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Sabendo o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1, obtemos
f'(x)=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}.
Esse argumento confirma o resultado anterior e mostra como o limite básico de \ln(1+u) aparece na conta.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{x},\quad x>0

Exercícios relacionados