Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
com domínio
. A pergunta é: calcular a derivada
para
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Domínio:
. - Pedido:
(a derivada da função em relação a ).
Passo 2
Lembrando o que é derivada: a derivada
mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
e pode ser definida pela diferença quociente
Aqui
é o ponto onde queremos a derivada e
é o incremento pequeno que tende a zero. Vou usar esse conceito para justificar a resposta, mas primeiro uso um método muito prático e direto.
Passo 3
Usarei diferenciação implícita explorando que
e
são funções inversas. Defina
Por definição de função inversa temos
Agora diferenciamos essa igualdade em relação a
. Preciso explicar cuidadosamente o passo de diferenciação: a expressão
é uma composição de
com
, então, ao derivar em relação a
, aplicamos a regra da cadeia.
Passo 4
Diferenciando
em relação a
obtemos
Pelo lado direito
. Pelo lado esquerdo, pela regra da cadeia,
Assim
Isolando
,
Passo 5
Volto da variável
para
usando
. Substituindo na expressão anterior:
Como
, isto significa que
Explicação do domínio: a expressão
só está definida para
; como o domínio original era
, a derivada vale para todo
.
Passo 6
(Argumento alternativo via definição de derivada, para consolidar a intuição.) Usando a definição de limite:
Aplicando propriedades do logaritmo:
Colocando
(quando
então
) temos
Sabendo o limite padrão
, obtemos
Esse argumento confirma o resultado anterior e mostra como o limite básico de
aparece na conta.