Uma partícula se movimenta em um C.M.U com 10^{4} \mathrm{~mm} / \mathrm{s} e 15 T para um ângulo de 45^{\circ}. Calcule e represente a força magnética. (Admita \mathrm{q}=280 \mu \mathrm{C} ).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule e se represente a força magnética sobre uma partícula. Os dados fornecidos são:
  • velocidade: v=10^{4}\\ \mathrm{mm/s};
  • campo magnético: B=15\\ \mathrm{T};
  • ângulo entre \vec v e \vec B: 45^\circ;
  • carga: q=280\\ \mu\mathrm{C}.
As perguntas a responder são:
  1. Calcular o módulo da força magnética F.
  2. Representar a força magnética como vetor (direção e sentido).

Passo 2

Fórmula e conceito que vamos usar (aqui explico com calma): a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela força de Lorentz magnética
\vec F = q\,\vec v\times\vec B.
Isto significa que \vec F é o produto vetorial entre \vec v e \vec B, escalado por q. Alguns pontos importantes:
  • O produto vetorial dá um vetor perpendicular aos dois vetores \vec v e \vec B.
  • O módulo desse vetor é
F = q\,v\,B\,\sin\theta,
onde:
  • q é a carga (em coulombs),
  • v é o módulo da velocidade (em \mathrm{m/s}),
  • B é o módulo do campo magnético (em tesla),
  • \theta é o ângulo entre \vec v e \vec B.
  • O sentido de \vec F é dado pela regra da mão direita (para carga positiva): dedo indicador aponta \vec v, dedo médio aponta \vec B, o polegar aponta \vec F.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo. Não se assuste: é só multiplicar e usar \sin45^\circ.

Passo 3

Primeiro convertemos as unidades para o SI:
  • velocidade: 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}, então
v = 10^{4}\\ \mathrm{mm/s} = 10^{4}\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s} = 10\\ \mathrm{m/s}.
  • carga: 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}, então
q = 280\\ \mu\mathrm{C} = 280\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 2{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
O campo já está em tesla e não precisa converter:
B = 15\\ \mathrm{T}.
O ângulo é \theta=45^\circ, e \sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Agora calculamos o módulo da força usando
F = q\,v\,B\,\sin45^\circ.
Calculemos qvB primeiro:
qvB = \bigl(2{,}80\times10^{-4}\bigr)\times 10\times 15.
Multiplicando:
10\times15 = 150,
qvB = 2{,}80\times10^{-4}\times150 = 4{,}20\times10^{-2}\\ \mathrm{N}.
Agora multiplicamos por \sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
F = 4{,}20\times10^{-2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}.
Usando \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071,
F \approx 4{,}20\times10^{-2}\times0{,}7071 \approx 2{,}97\times10^{-2}\\ \mathrm{N}.
Em unidades mais familiares, isso é F\approx 29{,}7\\ \mathrm{mN} (mili-newtons).

Passo 5

Representação vetorial da força (passo a passo e bem didático):
  • Para representar o vetor, escolhemos um sistema de referência simples. Tome \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} como versores cartesianos.
  • Coloco a velocidade ao longo de \hat{\imath}:
\vec v = v\,\hat{\imath} = 10\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.
  • Para que o ângulo entre \vec v e \vec B seja 45^\circ, podemos escrever \vec B no plano x- y como
\vec B = B\bigl(\cos45^\circ\,\hat{\imath} + \sin45^\circ\,\hat{\jmath}\bigr).
Essa escolha garante que o ângulo entre \vec v (no eixo x) e \vec B seja 45^\circ.
  • Agora o produto vetorial:
\vec v\times\vec B = vB\bigl(\hat{\imath}\times(\cos45^\circ\,\hat{\imath}+\sin45^\circ\,\hat{\jmath})\bigr).
Como \hat{\imath}\times\hat{\imath}=\vec0 e \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}, obtemos
\vec v\times\vec B = vB\sin45^\circ\,\hat{k}.
Multiplicando por q,
\vec F = qvB\sin45^\circ\,\hat{k}.
Substituindo o valor numérico do módulo encontrado:
\vec F \approx 2{,}97\times10^{-2}\\ \mathrm{N}\\ \hat{k}.
Isto significa que a força é perpendicular ao plano definido por \vec v e \vec B e aponta no sentido positivo de \hat{k} (de acordo com a regra da mão direita, já que q é positiva).

Passo 6

Resumo intuitivo rápido: a força magnética tem módulo cerca de 0{,}03\\ \mathrm{N} e é perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo. Para cargas positivas o sentido segue a regra da mão direita; se a carga fosse negativa, a força teria sentido oposto. Vá confiante — esse tipo de cálculo é sempre: converter unidades, usar F=qvB\sin\theta, e aplicar a regra da mão direita para a direção.

Resposta

F \approx 2{,}97\times10^{-2}\\ \mathrm{N}
\displaystyle \vec F \approx 2{,}97\times10^{-2}\\ \mathrm{N}\,\hat{k}

Exercícios relacionados