Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\cos \left(\left(3 x^{4}-2 x^{3}\right) \cdot\left(2 x^{2}-1\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\!\bigl((3x^4-2x^3)\cdot(2x^2-1)\bigr).
O que vamos usar é a regra da cadeia (para a composição com o cosseno) e a regra do produto (para derivar (3x^4-2x^3)(2x^2-1)).

Passo 2

Definimos
u(x) = (3x^4 - 2x^3)\,(2x^2 - 1).
Pela regra da cadeia,
f'(x) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

Para achar u'(x), aplicamos a regra do produto em
u(x)=A(x)\,B(x), \quad A(x)=3x^4-2x^3, \quad B(x)=2x^2-1.
Calculamos
A'(x)=12x^3-6x^2, \quad B'(x)=4x,
e então
u'(x) = A'(x)\,B(x) + A(x)\,B'(x).

Passo 4

Substituindo A, A', B e B' em u'(x), obtemos
u'(x) = (12x^3-6x^2)\,(2x^2-1) + (3x^4-2x^3)\,4x.
Expandindo e somando termos semelhantes,
u'(x) = 36x^5 - 20x^4 - 12x^3 + 6x^2.

Resposta

f'(x) = -\bigl(36x^5 - 20x^4 - 12x^3 + 6x^2\bigr)\,\sin\!\bigl((3x^4-2x^3)(2x^2-1)\bigr).

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