Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{2}}.
Aqui vamos usar a regra do expoente (power rule) e, quando necessário, a regra da cadeia. Primeiro convertemos cada termo em potência de x.

Passo 2

Reescrevendo em potências: \sqrt{\tfrac{1}{x}}=(1/x)^{1/2}=x^{-1/2}, \sqrt{x}=x^{1/2}, \sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}=x^{2/3}.
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f(x)=x^{-1/2}+x^{1/2}-x^{2/3}.

Passo 3

Aplicando a regra do expoente, \tfrac{d}{dx}\bigl[x^{n}\bigr]=n\,x^{n-1}, a derivada é
f'(x) = -\tfrac12\,x^{-1/2-1} \;+\;\tfrac12\,x^{1/2-1}\;-\;\tfrac{2}{3}\,x^{2/3-1}.
Simplificando os expoentes:
f'(x) = -\tfrac12\,x^{-3/2} \;+\;\tfrac12\,x^{-1/2}\;-\;\tfrac{2}{3}\,x^{-1/3}.

Passo 4

Voltando para radicais, usamos x^{-3/2}=1/(x^{3/2}), x^{-1/2}=1/\sqrt{x} e x^{-1/3}=1/\sqrt[3]{x}. Assim
f'(x) = -\frac{1}{2\,x^{3/2}}+\frac{1}{2\,x^{1/2}}-\frac{2}{3\,x^{1/3}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{2\,x^{3/2}}+\frac{1}{2\,x^{1/2}}-\frac{2}{3\,x^{1/3}}.

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