Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{tg}\left(4 x^{2}-3 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{tg}\bigl(4x^{2}-3x+1\bigr).
Aqui vamos usar derivada de função composta (regra da cadeia) e a derivada básica de polinômio.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=4x^{2}-3x+1
e calculamos sua derivada usando regras de potência e soma:
u'(x)=\frac{d}{dx}(4x^{2})-\frac{d}{dx}(3x)+\frac{d}{dx}(1)=8x-3+0=8x-3.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{tg}(u)\bigr]=\operatorname{sec}^{2}(u).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Resposta

f'(x)=(8x-3)\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(4x^{2}-3x+1\bigr).

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