Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(v)=\frac{v^{3}-1}{v^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(v)=\frac{v^{3}-1}{v^{3}+1}.
O conteúdo necessário é a regra do quociente para derivação de funções da forma \tfrac{u(v)}{w(v)}.

Passo 2

Seja
u(v)=v^{3}-1,\quad w(v)=v^{3}+1.
Então
u'(v)=3v^{2},\quad w'(v)=3v^{2}.
A regra do quociente diz que
f'(v)=\frac{u'(v)\,w(v)-u(v)\,w'(v)}{\bigl(w(v)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Substituindo u, u', w e w' obtemos
f'(v) =\frac{3v^{2}(v^{3}+1)-(v^{3}-1)\,3v^{2}}{(v^{3}+1)^{2}} =\frac{3v^{2}\bigl[(v^{3}+1)-(v^{3}-1)\bigr]}{(v^{3}+1)^{2}}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
(v^{3}+1)-(v^{3}-1)=2,
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f'(v)=\frac{3v^{2}\cdot 2}{(v^{3}+1)^{2}} =\frac{6v^{2}}{(v^{3}+1)^{2}}.

Resposta

f'(v)=\frac{6v^{2}}{(v^{3}+1)^{2}}.

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