Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}.
O conteúdo envolvido é a regra do poder (power rule) para derivar potências de x.

Passo 2

Reescrevemos cada termo como potência de x:
f(x) = 1 + x^{-1} + x^{-2} + x^{-3}.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder, que diz \frac{d}{dx}\bigl[x^{n}\bigr]=n\,x^{n-1}, e lembramos que a derivada de constante é zero. Assim,
f'(x) = 0 + (-1)\,x^{-2} + (-2)\,x^{-3} + (-3)\,x^{-4}.

Passo 4

Simplificamos os coeficientes negativos:
f'(x) = -\,x^{-2} \;-\; 2\,x^{-3} \;-\; 3\,x^{-4},
ou, voltando à forma de frações,

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} \;-\; \frac{2}{x^{3}} \;-\; \frac{3}{x^{4}}.

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