Calcule as derivadas das funções abaixo:
y=\left(x^{2}-1\right)^{5}-3\left(x^{2}-1\right)+6\left(x^{2}-1\right)-5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = \bigl(x^{2}-1\bigr)^{5} - 3\bigl(x^{2}-1\bigr) + 6\bigl(x^{2}-1\bigr) - 5.
O conteúdo necessário envolve a regra da soma, a regra da cadeia para potência e a derivada de x^{2}.

Passo 2

Primeiro, somamos os termos lineares em \bigl(x^{2}-1\bigr):
-3\bigl(x^{2}-1\bigr) + 6\bigl(x^{2}-1\bigr) = 3\bigl(x^{2}-1\bigr).
Logo a função fica
y = \bigl(x^{2}-1\bigr)^{5} + 3\bigl(x^{2}-1\bigr) - 5.

Passo 3

Derivamos o termo \bigl(x^{2}-1\bigr)^{5} aplicando a regra da cadeia. Seja u = x^{2}-1, então u' = 2x e
\frac{d}{dx}\bigl(u^{5}\bigr) = 5\,u^{4}\,u' = 5\,(x^{2}-1)^{4}\cdot 2x = 10x\,(x^{2}-1)^{4}.

Passo 4

Derivamos o termo 3\bigl(x^{2}-1\bigr). Como é constante vezes x^{2}-1, temos
\frac{d}{dx}\bigl[3(x^{2}-1)\bigr] = 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}-1) = 3\cdot 2x = 6x.

Passo 5

A derivada da constante -5 é zero. Somando os resultados:
y' = 10x\,(x^{2}-1)^{4} + 6x + 0 = 10x\,(x^{2}-1)^{4} + 6x.

Passo 6

Podemos ainda fatorar 2x em evidência:
y' = 2x\bigl(5\,(x^{2}-1)^{4} + 3\bigr).

Resposta

y' = 10x\,(x^{2}-1)^{4} + 6x = 2x\bigl(5\,(x^{2}-1)^{4} + 3\bigr).

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