Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=4 x^{\frac{1}{2}}+6 x^{\frac{-1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=4\,x^{\frac{1}{2}}+6\,x^{-\frac{1}{2}}
O conteúdo aqui é a regra do poder:
\frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Vamos derivar cada termo separadamente usando \frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n\,x^{n-1}:
  • Para 4\,x^{\tfrac12}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(4\,x^{\tfrac12}\bigr) =4\cdot\frac12\,x^{\frac12-1} =2\,x^{-\frac12}.
  • Para 6\,x^{-\tfrac12}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(6\,x^{-\tfrac12}\bigr) =6\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,x^{-\frac12-1} =-3\,x^{-\frac32}.

Passo 3

Somando os resultados, obtemos
f'(x)=2\,x^{-\frac12}-3\,x^{-\frac32}.

Passo 4

Podemos também reescrever em termos de radicais:
f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=2\,x^{-\frac12}-3\,x^{-\frac32} \quad\text{ou}\quad \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x\sqrt{x}}.

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