Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\frac{e^{a x}-e^{-a x}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função
f(x)=\frac{e^{a x}-e^{-a x}}{2}.
Informações dadas:
  • A função é composta por somas/subtrações de exponenciais com argumento linear em x.
  • A letra a é um parâmetro (constante) — não depende de x.
    O pedido diz “derivadas” (no plural). Vou calcular a derivada primeira explicitamente, mostrar a segunda e, por fim, obter a fórmula geral para a n-ésima derivada.

Passo 2

Relembrando as regras básicas que vou usar (pequena aula):
  • Derivada da exponencial com argumento linear: se u(x)=b x com b constante, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)e^{u(x)}.
No caso u(x)=b x, temos u'(x)=b, logo \dfrac{d}{dx}e^{b x}=b e^{b x}.
Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
  • Regra da linearidade: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas, e constantes fatoram para fora:
\frac{d}{dx}\big(k\cdot g(x)\big)=k\cdot g'(x),\qquad \frac{d}{dx}\big(g(x)\pm h(x)\big)=g'(x)\pm h'(x).

Passo 3

Aplicando as regras à nossa função termo a termo.
Escrevendo cada termo:
f(x)=\frac{1}{2}\,e^{a x}-\frac{1}{2}\,e^{-a x}.
Derivando o primeiro termo: pela regra da exponencial com u(x)=a x,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}e^{a x}\right)=\frac{1}{2}\cdot a e^{a x}=\frac{a e^{a x}}{2}.
Derivando o segundo termo: aqui u(x)=-a x, então u'(x)=-a, e
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2}e^{-a x}\right)=-\frac{1}{2}\cdot(-a)e^{-a x}=\frac{a e^{-a x}}{2}.
Somando as duas derivadas (regra da linearidade):
f'(x)=\frac{a e^{a x}}{2}+\frac{a e^{-a x}}{2}=\frac{a\big(e^{a x}+e^{-a x}\big)}{2}.

Passo 4

Interpretação usando funções hiperbólicas (opcional, mas útil):
Definindo \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2} e \operatorname{cosh} t=\dfrac{e^{t}+e^{-t}}{2}, temos
f(x)=\operatorname{sinh}(ax) \qquad\text{e}\qquad f'(x)=a\operatorname{cosh}(ax).
Isso liga o resultado ao comportamento conhecido de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}: derivando \operatorname{sinh} aparece \operatorname{cosh}, e vice-versa com o fator da cadeia a.

Passo 5

Derivada segunda (mostrando uma propriedade prática que facilita na prova):
A partir de f'(x)=a\operatorname{cosh}(ax) e sabendo que \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh}(ax)=a\operatorname{sinh}(ax), obtemos
f''(x)=a\cdot\big(a\operatorname{sinh}(ax)\big)=a^2\operatorname{sinh}(ax)=a^2 f(x).
Observação útil: f satisfaz a equação diferencial linear f''(x)=a^2 f(x).

Passo 6

Fórmula geral para a n-ésima derivada (útil quando pedem derivadas de ordem alta):
Derivando n vezes cada exponencial separadamente, \dfrac{d^n}{dx^n}e^{a x}=a^n e^{a x} e \dfrac{d^n}{dx^n}e^{-a x}=(-a)^n e^{-a x}. Assim
f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}\big(a^n e^{a x}-(-a)^n e^{-a x}\big)=\frac{a^n}{2}\big(e^{a x}-(-1)^n e^{-a x}\big).
Formato alternativo (usando \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}):
  • Se n é par, (-1)^n=1 e
f^{(n)}(x)=a^n\operatorname{sinh}(ax)=a^n f(x).
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e
f^{(n)}(x)=a^n\operatorname{cosh}(ax).

Resposta

f'(x)=\dfrac{a\big(e^{a x}+e^{-a x}\big)}{2}=a\operatorname{cosh}(ax)\n
f''(x)=a^{2}\dfrac{e^{a x}-e^{-a x}}{2}=a^{2}f(x)\n
\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{a^{n}}{2}\big(e^{a x}-(-1)^{n}e^{-a x}\big)

Exercícios relacionados