Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
Informações dadas:
- A função é composta por somas/subtrações de exponenciais com argumento linear em
. - A letra
é um parâmetro (constante) — não depende de .
O pedido diz “derivadas” (no plural). Vou calcular a derivada primeira explicitamente, mostrar a segunda e, por fim, obter a fórmula geral para a-ésima derivada.
Passo 2
Relembrando as regras básicas que vou usar (pequena aula):
- Derivada da exponencial com argumento linear: se
com constante, então
No caso
, temos
, logo
.
Exemplo simples: .
Exemplo simples:
- Regra da linearidade: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas, e constantes fatoram para fora:
Passo 3
Aplicando as regras à nossa função termo a termo.
Escrevendo cada termo:
Escrevendo cada termo:
Derivando o primeiro termo: pela regra da exponencial com
,
Derivando o segundo termo: aqui
, então
, e
Somando as duas derivadas (regra da linearidade):
Passo 4
Interpretação usando funções hiperbólicas (opcional, mas útil):
Definindo e
, temos
Definindo
Isso liga o resultado ao comportamento conhecido de
e
: derivando
aparece
, e vice-versa com o fator da cadeia
.
Passo 5
Derivada segunda (mostrando uma propriedade prática que facilita na prova):
A partir de e sabendo que
, obtemos
A partir de
Observação útil:
satisfaz a equação diferencial linear
.
Passo 6
Fórmula geral para a
-ésima derivada (útil quando pedem derivadas de ordem alta):
Derivando vezes cada exponencial separadamente,
e
. Assim
Derivando
Formato alternativo (usando
e
):
- Se
é par, e
- Se
é ímpar, e