Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}\left(2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x)\bigr).
Informações dadas (explicitando as partes da função):
  • A função externa é \operatorname{sen}(\cdot).
  • O argumento (função interna) é a soma 2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x).
  • Dentro dessa soma temos duas funções: 2^{x} e \operatorname{arctg}(\pi x).
    A tarefa é obter f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Princípio que vamos usar (escolha de estratégia): quando uma função é composta (uma função aplicada a outra), usa-se a regra da cadeia. Também usamos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Vou escrever as fórmulas usadas e explicar o que cada símbolo significa.
  • Regra da cadeia (forma prática): se F(x)=h(g(x)), então
F'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui h é a função externa (aplicada por último) e g é a função interna (aquela que aparece dentro de h). O símbolo h'(g(x)) significa "derivada de h avaliada em g(x)". O símbolo g'(x) é a derivada da função interna.
  • Derivada da soma: se g(x)=u(x)+v(x), então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
Ou seja, derivar terminho a terminho.
Aplicando isso ao nosso caso, vamos identificar h(t)=\operatorname{sen}(t) e g(x)=2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x). Então
f'(x)=\bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr)'\Big|_{t=g(x)}\cdot g'(x).
Agora calculamos cada parte.

Passo 3

Derivada da função externa: h(t)=\operatorname{sen}(t).
  • Conhecimento básico: a derivada do seno é o cosseno. Em notação,
\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t).
Portanto, substituindo t=g(x),
h'(g(x))=\cos\!\bigl(g(x)\bigr)=\cos\!\bigl(2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x)\bigr).
Explicando em palavras: ao derivar a função exterior, mantém-se o argumento como está e multiplica-se pela derivada do argumento (que ainda não calculamos).

Passo 4

Agora vamos calcular g'(x) com g(x)=2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x). Usando derivada da soma:
g'(x)=\frac{d}{dx}2^{x}+\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(\pi x).
Primeiro termo: derivada de 2^{x}.
  • Regra geral: para a^{x} com a>0 constante, escreve-se a^{x}=e^{x\ln a}. Derivando,
\frac{d}{dx}a^{x}=e^{x\ln a}\cdot\ln a=a^{x}\ln a.
  • Aplicando com a=2,
\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
Este \ln 2 é apenas o número natural logaritmo de 2 (constante).

Passo 5

Segundo termo: derivada de \operatorname{arctg}(\pi x).
  • Primeiro, lembra-se a derivada padrão: para a função inversa tangente,
\frac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Isto pode ser lembrado como fato básico (derivada da arctangente).
  • Aqui temos composição: t=\pi x. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(\pi x)=\frac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)\Big|_{t=\pi x}\cdot\frac{d}{dx}(\pi x).
  • Calculando as partes: \dfrac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)\big|_{t=\pi x}=\dfrac{1}{1+(\pi x)^{2}} e \dfrac{d}{dx}(\pi x)=\pi (pois \pi é constante).
  • Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(\pi x)=\frac{\pi}{1+(\pi x)^{2}}.

Passo 6

Agora juntamos os termos do Passo 4 e Passo 5 para obter g'(x):
g'(x)=2^{x}\ln 2+\frac{\pi}{1+(\pi x)^{2}}.
Usando a regra da cadeia do Passo 2 e a derivada da parte externa do Passo 3, obtemos a derivada final:
f'(x)=\cos\!\bigl(2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x)\bigr)\cdot\left(2^{x}\ln 2+\frac{\pi}{1+(\pi x)^{2}}\right).

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (práticas):
  • Identifique claramente função externa e interna; marque-as no enunciado.
  • Derive a externa e mantenha o argumento; depois multiplique pela derivada da interna.
  • Ao derivar a^{x}, lembre-se de a^{x}\ln a. Ao derivar \operatorname{arctg}(u), lembre-se de u'/(1+u^{2}).
  • Faça cada passo separado no rascunho para evitar erros de sinais e esquecimentos de fatores como \ln 2 ou \pi.
  • Se quiser, pratique com variações: por exemplo, calcule a derivada de \operatorname{sen}(3^{x}+\operatorname{arctg}(2x)) seguindo exatamente os mesmos passos.

Resposta

f'(x)=\cos\!\bigl(2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x)\bigr)\left(2^{x}\ln 2+\frac{\pi}{1+(\pi x)^{2}}\right)

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