Informações dadas (explicitando as partes da função):
A função externa é \operatorname{sen}(\cdot).
O argumento (função interna) é a soma 2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x).
Dentro dessa soma temos duas funções: 2^{x} e \operatorname{arctg}(\pi x).
A tarefa é obter f'(x), a derivada de f em relação a x.
Passo 2
Princípio que vamos usar (escolha de estratégia): quando uma função é composta (uma função aplicada a outra), usa-se a regra da cadeia. Também usamos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Vou escrever as fórmulas usadas e explicar o que cada símbolo significa.
Regra da cadeia (forma prática): se F(x)=h(g(x)), então
F'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui h é a função externa (aplicada por último) e g é a função interna (aquela que aparece dentro de h). O símbolo h'(g(x)) significa "derivada de h avaliada em g(x)". O símbolo g'(x) é a derivada da função interna.
Derivada da soma: se g(x)=u(x)+v(x), então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
Ou seja, derivar terminho a terminho.
Aplicando isso ao nosso caso, vamos identificar h(t)=\operatorname{sen}(t) e g(x)=2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x). Então
Explicando em palavras: ao derivar a função exterior, mantém-se o argumento como está e multiplica-se pela derivada do argumento (que ainda não calculamos).
Passo 4
Agora vamos calcular g'(x) com g(x)=2^{x}+\operatorname{arctg}(\pi x). Usando derivada da soma:
Identifique claramente função externa e interna; marque-as no enunciado.
Derive a externa e mantenha o argumento; depois multiplique pela derivada da interna.
Ao derivar a^{x}, lembre-se de a^{x}\ln a. Ao derivar \operatorname{arctg}(u), lembre-se de u'/(1+u^{2}).
Faça cada passo separado no rascunho para evitar erros de sinais e esquecimentos de fatores como \ln 2 ou \pi.
Se quiser, pratique com variações: por exemplo, calcule a derivada de \operatorname{sen}(3^{x}+\operatorname{arctg}(2x)) seguindo exatamente os mesmos passos.