Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular as derivadas. Aqui vou entender que devemos calcular pelo menos a primeira e a segunda derivada de
em relação a
. Informações dadas relevantes:
- A função está escrita em termos de
. -
é um parâmetro constante (número real, presumivelmente). - Pedem as derivadas de
em relação a .
Passo 2
Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas com calma):
- Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes podem ser puxadas para fora da derivada. Em notação, para funções
e e constante ,
- Regra da cadeia para exponenciais: se
é função de , então
Ou seja, deriva-se o expoente
(obtendo
) e multiplica-se pelo próprio exponencial.
- Aplicando a regra acima aos casos comuns onde
(com constante), tem-se
Aqui explico por que: para
temos
. Para
temos
.
Passo 3
Agora aplicamos as regras ao nosso
. Primeiro reescrevo
como soma de termos com fator constante:
Derivando termo a termo, usando linearidade e a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas dos exponenciais:
Agrupando fatores comuns:
Observação útil (não necessária, mas boa para decorar): a expressão
define a função hiperbólica
. Portanto também podemos escrever
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada
. Partimos de
Derivando novamente (novamente regra da cadeia e linearidade):
Simplificando os sinais:
Reconhecendo a expressão original
, obtemos uma forma muito elegante:
Isto quer dizer que
satisfaz a equação diferencial simples
.
Passo 5
Cheque rápido de consistência (casos especiais): se
então
, então
e
. As fórmulas acima dão
e
, consistentes.