Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\frac{e^{a x}+e^{-a x}}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{e^{a x}+e^{-a x}}{2}
e pede para calcular as derivadas. Aqui vou entender que devemos calcular pelo menos a primeira e a segunda derivada de f em relação a x. Informações dadas relevantes:
  • A função está escrita em termos de x.
  • a é um parâmetro constante (número real, presumivelmente).
  • Pedem as derivadas de f em relação a x.

Passo 2

Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas com calma):
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes podem ser puxadas para fora da derivada. Em notação, para funções u(x) e v(x) e constante c,
\frac{d}{dx}\bigl(u+v\bigr)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u\bigr)=c\cdot\frac{du}{dx}.
  • Regra da cadeia para exponenciais: se u(x) é função de x, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
Ou seja, deriva-se o expoente u(x) (obtendo u'(x)) e multiplica-se pelo próprio exponencial.
  • Aplicando a regra acima aos casos comuns onde u(x)=a x (com a constante), tem-se
\frac{d}{dx}e^{a x}=a\,e^{a x}, \qquad \frac{d}{dx}e^{-a x}=-a\,e^{-a x}.
Aqui explico por que: para u(x)=a x temos u'(x)=a. Para u(x)=-a x temos u'(x)=-a.

Passo 3

Agora aplicamos as regras ao nosso f(x). Primeiro reescrevo f como soma de termos com fator constante:
f(x)=\frac{1}{2}e^{a x}+\frac{1}{2}e^{-a x}.
Derivando termo a termo, usando linearidade e a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}e^{a x}+\frac{1}{2}\frac{d}{dx}e^{-a x}.
Substituindo as derivadas dos exponenciais:
f'(x)=\frac{1}{2}\bigl(a e^{a x}\bigr)+\frac{1}{2}\bigl(-a e^{-a x}\bigr).
Agrupando fatores comuns:
f'(x)=\frac{a}{2}\bigl(e^{a x}-e^{-a x}\bigr).
Observação útil (não necessária, mas boa para decorar): a expressão \dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2} define a função hiperbólica \operatorname{sinh}(t). Portanto também podemos escrever
f'(x)=a\,\operatorname{sinh}\bigl(a x\bigr).

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada f''(x). Partimos de
f'(x)=\frac{a}{2}\bigl(e^{a x}-e^{-a x}\bigr).
Derivando novamente (novamente regra da cadeia e linearidade):
f''(x)=\frac{a}{2}\frac{d}{dx}\bigl(e^{a x}-e^{-a x}\bigr) =\frac{a}{2}\bigl(a e^{a x}-(-a)e^{-a x}\bigr).
Simplificando os sinais:
f''(x)=\frac{a}{2}\bigl(a e^{a x}+a e^{-a x}\bigr) =\frac{a^{2}}{2}\bigl(e^{a x}+e^{-a x}\bigr).
Reconhecendo a expressão original f(x)=\dfrac{e^{a x}+e^{-a x}}{2}, obtemos uma forma muito elegante:
f''(x)=a^{2}f(x).
Isto quer dizer que f satisfaz a equação diferencial simples f''-a^{2}f=0.

Passo 5

Cheque rápido de consistência (casos especiais): se a=0 então f(x)=\dfrac{e^{0}+e^{0}}{2}=1, então f'(x)=0 e f''(x)=0. As fórmulas acima dão f'(x)=\dfrac{0}{2}(\cdots)=0 e f''(x)=0^{2}f(x)=0, consistentes.

Resposta

f'(x)=\frac{a}{2}\bigl(e^{a x}-e^{-a x}\bigr)
f''(x)=\frac{a^{2}}{2}\bigl(e^{a x}+e^{-a x}\bigr)=a^{2}f(x)

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