Essa é a fórmula que vamos aplicar aqui. Ela é intuitiva: cada limite variável contribui com o valor da integranda naquele limite vezes a velocidade com que esse limite muda (derivada do limite).
Passo 3
Identificar f, u e v no problema:
f(t)=\arctan t.
u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
v(x)=2x.
Calcular as derivadas dos limites:
Para v(x)=2x, tem-se
v'(x)=2.
Para u(x)=x^{1/2}, usar regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}. Assim
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válido para x>0. (Em x=0 a derivada de \sqrt{x} não é finita.)
Passo 4
Aplicar a fórmula da derivação sob o sinal de integral:
Esta expressão é válida para x>0. Para x=0 a fórmula direta falha porque aparece 1/(2\sqrt{x}). Se quiser saber a derivada pela direita em 0, observe que \arctan(z)\sim z para z\to0, então
Se preferir, escreva a integral como diferença de duas integrais com limite fixo (por exemplo a partir de um número c) e diferencie cada uma usando a regra da cadeia. Isso evita esquecer o sinal menos no termo do limite inferior. Um exemplo rápido (para fixar): \dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\sin t\,dt=\sin(x^2)\cdot 2x.