Calcule as derivadas das funções abaixo:
g(x)=\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\int_{\sqrt{x}}^{2x} \arctan t\,dt.
Informações fornecidas:
  • A integranda é \arctan t.
  • O limite inferior depende de x: a(x)=\sqrt{x}.
  • O limite superior depende de x: b(x)=2x.
  • Para que \sqrt{x} seja real é necessário x\ge 0.
A pergunta explícita: encontrar g'(x) (derivada em relação a x), indicando onde a fórmula é válida.

Passo 2

Lembrete teórico (explicado passo a passo): se uma função é dada por uma integral com limites que dependem de x,
G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt,
então, usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia, tem-se
G'(x)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x).
Por que isso vale? Uma maneira simples de entender é:
  1. Defina F(s)=\int_{c}^{s} f(t)\,dt para uma constante c. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F'(s)=f(s).
  2. Então G(x)=F\big(v(x)\big)-F\big(u(x)\big).
  3. Diferenciando com a Regra da Cadeia:
G'(x)=F'\big(v(x)\big)\,v'(x)-F'\big(u(x)\big)\,u'(x)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x).
Essa é a fórmula que vamos aplicar aqui. Ela é intuitiva: cada limite variável contribui com o valor da integranda naquele limite vezes a velocidade com que esse limite muda (derivada do limite).

Passo 3

Identificar f, u e v no problema:
  • f(t)=\arctan t.
  • u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
  • v(x)=2x.
Calcular as derivadas dos limites:
  • Para v(x)=2x, tem-se
v'(x)=2.
  • Para u(x)=x^{1/2}, usar regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}. Assim
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válido para x>0. (Em x=0 a derivada de \sqrt{x} não é finita.)

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivação sob o sinal de integral:
g'(x)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x).
Substituindo f, v, v', u e u':
g'(x)=\arctan(2x)\cdot 2 - \arctan\big(\sqrt{x}\,\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Podemos reescrever de forma mais compacta:
g'(x)=2\arctan(2x)-\frac{\arctan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.
Esta expressão é válida para x>0. Para x=0 a fórmula direta falha porque aparece 1/(2\sqrt{x}). Se quiser saber a derivada pela direita em 0, observe que \arctan(z)\sim z para z\to0, então
\frac{\arctan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\xrightarrow[x\to0^+]{}\frac{1}{2},
logo a derivada direita em 0 é 0-1/2=-\tfrac{1}{2}. Mas a expressão acima é a forma geral para x>0.

Passo 5

Resumo didático e dica de prova: na hora da prova, ao ver uma integral com limites dependentes, memorize a regra direta
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x).
Se preferir, escreva a integral como diferença de duas integrais com limite fixo (por exemplo a partir de um número c) e diferencie cada uma usando a regra da cadeia. Isso evita esquecer o sinal menos no termo do limite inferior. Um exemplo rápido (para fixar): \dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\sin t\,dt=\sin(x^2)\cdot 2x.

Resposta

g'(x)=2\arctan(2x)-\dfrac{\arctan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}

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