Calcule H^{\prime}(x), onde
H(x)=\int_{\operatorname{sen}(x)}^{x^{3}} t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular H^{\prime}(x), onde está definida a função
H(x)=\int_{\operatorname{sen}(x)}^{x^{3}} t^{2}\,dt.
Informações dadas:
  • A integranda é t^{2}.
  • O limite inferior é a(x)=\operatorname{sen}(x).
  • O limite superior é b(x)=x^{3}.
  • Queremos a derivada H^{\prime}(x).

Passo 2

Lema fundamental que vamos usar (forma prática): se
H(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então, pela Regra Fundamental do Cálculo combinada com a Regra da Cadeia,
H^{\prime}(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b^{\prime}(x)-f\bigl(a(x)\bigr)\,a^{\prime}(x).
Explicando devagar: a ideia é que \int_{c}^{u} f(t)\,dt tem derivada f(u) em relação a u; se u depende de x, aplica-se a Regra da Cadeia e multiplica-se por u^{\prime}(x). Se os dois limites dependem de x, aparece uma contribuição positiva do limite superior e uma contribuição negativa do limite inferior.

Passo 3

Identificamos na nossa função:
f(t)=t^{2},\qquad b(x)=x^{3},\qquad a(x)=\operatorname{sen}(x).
Calculemos as derivadas dos limites:
b^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}, \qquad a^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)=\cos x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
H^{\prime}(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b^{\prime}(x)-f\bigl(a(x)\bigr)\,a^{\prime}(x).
Substituindo f(t)=t^{2}, b(x)=x^{3} e a(x)=\operatorname{sen}(x):
H^{\prime}(x)=(x^{3})^{2}\cdot 3x^{2}-(\operatorname{sen} x)^{2}\cdot \cos x.
Simplificando (x^{3})^{2}=x^{6} e x^{6}\cdot 3x^{2}=3x^{8}, obtemos
H^{\prime}(x)=3x^{8}-(\operatorname{sen} x)^{2}\cos x.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma conta por outro caminho, útil para ganhar confiança): calcular explicitamente a integral primitiva \int t^{2}\,dt=\dfrac{t^{3}}{3}. Então
H(x)=\frac{(x^{3})^{3}}{3}-\frac{(\operatorname{sen} x)^{3}}{3}=\frac{x^{9}}{3}-\frac{(\operatorname{sen} x)^{3}}{3}.
Derivando:
H^{\prime}(x)=\frac{9x^{8}}{3}-\frac{3(\operatorname{sen} x)^{2}\cos x}{3}=3x^{8}-(\operatorname{sen} x)^{2}\cos x,
igual ao resultado do Passo 4.

Resposta

H^{\prime}(x)=3x^{8}-(\operatorname{sen} x)^{2}\cos x

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