Calcule as derivadas das funções abaixo :
G(x)=\ln (\operatorname{arccotg} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
G(x)=\ln\!\big(\operatorname{arccotg} x\big).
Informações relevantes dadas (retiradas do enunciado):
  • A função é composta: primeiro aplica-se \operatorname{arccotg} a x e depois toma-se o \ln.
  • Para a definição principal usual, \operatorname{arccotg} x toma valores em (0,\pi), ou seja é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}. Assim o domínio de G é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Regra geral que vamos usar (e uma pequena demonstração intuitiva): se H(x)=\ln(u(x)) com u(x)>0, então
H'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Justificativa rápida: escrevendo y=\ln(u(x)) temos e^{y}=u(x). Diferenciando em x: e^{y}y'=u'(x). Como e^{y}=u(x), segue y'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
No nosso caso, u(x)=\operatorname{arccotg} x. Logo
G'(x)=\frac{\big(\operatorname{arccotg} x\big)'}{\operatorname{arccotg} x}.

Passo 3

Agora precisamos da derivada de \operatorname{arccotg} x. Vamos deduzir de forma clara por diferenciação implícita. Seja
y=\operatorname{arccotg} x.
Pela definição inversa tem-se \cot y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(\cot y)=\frac{d}{dx}(x).
Usando derivada da cotangente e a regra da cadeia:
-\csc^{2}y\cdot y' = 1.
Logo
y' = -\frac{1}{\csc^{2}y}.
Agora expressamos \csc^{2}y em função de x. Da identidade pitagórica para cotangente:
\csc^{2}y = 1+\cot^{2}y.
Mas \cot y = x, então \csc^{2}y = 1+x^{2}. Portanto
\big(\operatorname{arccotg} x\big)' = y' = -\frac{1}{1+x^{2}}.
(Observação alternativa: também pode-se usar \operatorname{arccotg} x = \tfrac{\pi}{2}-\arctan x e derivar para obter o mesmo resultado.)

Passo 4

Substituindo o resultado do Passo 3 na fórmula do Passo 2:
G'(x)=\frac{-\dfrac{1}{1+x^{2}}}{\operatorname{arccotg} x} = -\frac{1}{(1+x^{2})\,\operatorname{arccotg} x}.
Verificação do domínio da derivada: para todo x\in\mathbb{R} temos 1+x^{2}>0 e, conforme citado no Passo 1, \operatorname{arccotg} x\in(0,\pi) (portanto diferente de zero). Logo a expressão acima está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

G'(x) = -\frac{1}{(1+x^{2})\,\operatorname{arccotg} x}

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