Calcule as derivadas das funções abaixo :
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas (retiradas do enunciado):
- A função é composta: primeiro aplica-se
a e depois toma-se o . - Para a definição principal usual,
toma valores em , ou seja é sempre positiva para todo . Assim o domínio de é todo .
Passo 2
Regra geral que vamos usar (e uma pequena demonstração intuitiva): se
com
, então
Justificativa rápida: escrevendo
temos
. Diferenciando em
:
. Como
, segue
.
No nosso caso, . Logo
No nosso caso,
Passo 3
Agora precisamos da derivada de
. Vamos deduzir de forma clara por diferenciação implícita. Seja
Pela definição inversa tem-se
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Usando derivada da cotangente e a regra da cadeia:
Logo
Agora expressamos
em função de
. Da identidade pitagórica para cotangente:
Mas
, então
. Portanto
(Observação alternativa: também pode-se usar
e derivar para obter o mesmo resultado.)
Passo 4
Substituindo o resultado do Passo 3 na fórmula do Passo 2:
Verificação do domínio da derivada: para todo
temos
e, conforme citado no Passo 1,
(portanto diferente de zero). Logo a expressão acima está bem definida para todo
.