Se
, mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que
Informações relevantes:
-
está definida por . - Deve-se calcular as segundas derivadas parciais em relação a
e somá‑las. - Atenção: a expressão usa
no denominador, portanto só faz sentido para (ou seja, fora da origem).
Passo 2
Primeiro vamos achar a primeira derivada parcial em relação a
. Vou usar a regra da cadeia: se
, então, para derivar em relação a
,
Aqui a ideia é: diferencio a potência
obtendo
e multiplico pela derivada de
que é
. Simplificando a expressão obtemos
(Igualmente, por simetria,
e
.)
Passo 3
Agora vamos calcular a segunda derivada parcial
. Tomamos a derivada em
de
. Posso usar a regra do quociente ou a regra do produto; aqui uso a forma
Explicando: derivei
(que dá
) vezes
menos
vezes a derivada de
, dividido por
(a fórmula do quociente). Agora substituo
:
Passo 4
Faço a simplificação algébrica na expressão anterior. Coloco tudo sobre o mesmo denominador:
Lembrando que
, podemos reescrever
Passo 5
Pelo mesmo raciocínio (simetria entre
) obtemos
Passo 6
Somando as três segundas derivadas:
No numerador:
Portanto a soma fica
Passo 7
Concluímos que, para
,