Se \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, mostre que
\frac{\partial^{2} \rho}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \rho}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \rho}{\partial z^{2}}=\frac{2}{\rho}

Passo 1

O enunciado dá a função \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e pede para mostrar que
\frac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\rho}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\rho}{\partial z^{2}}=\frac{2}{\rho}.
Informações relevantes:
  • \rho está definida por \rho=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
  • Deve-se calcular as segundas derivadas parciais em relação a x,y,z e somá‑las.
  • Atenção: a expressão usa \rho no denominador, portanto só faz sentido para \rho\neq0 (ou seja, fora da origem).

Passo 2

Primeiro vamos achar a primeira derivada parcial em relação a x. Vou usar a regra da cadeia: se \rho=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, então, para derivar em relação a x,
\frac{\partial \rho}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x.
Aqui a ideia é: diferencio a potência u^{1/2} obtendo \tfrac{1}{2}u^{-1/2} e multiplico pela derivada de u=x^{2}+y^{2}+z^{2} que é 2x. Simplificando a expressão obtemos
\frac{\partial \rho}{\partial x}=\frac{x}{\rho}.
(Igualmente, por simetria, \dfrac{\partial \rho}{\partial y}=\dfrac{y}{\rho} e \dfrac{\partial \rho}{\partial z}=\dfrac{z}{\rho}.)

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada parcial \dfrac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}}. Tomamos a derivada em x de \dfrac{\partial\rho}{\partial x}=\dfrac{x}{\rho}. Posso usar a regra do quociente ou a regra do produto; aqui uso a forma
\frac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{\rho}\right) =\frac{1\cdot\rho - x\cdot\frac{\partial\rho}{\partial x}}{\rho^{2}}.
Explicando: derivei x (que dá 1) vezes \rho menos x vezes a derivada de \rho, dividido por \rho^{2} (a fórmula do quociente). Agora substituo \dfrac{\partial\rho}{\partial x}=\dfrac{x}{\rho}:
\frac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}}=\frac{\rho - x\cdot\frac{x}{\rho}}{\rho^{2}} =\frac{\rho - \dfrac{x^{2}}{\rho}}{\rho^{2}}.

Passo 4

Faço a simplificação algébrica na expressão anterior. Coloco tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{\rho - \dfrac{x^{2}}{\rho}}{\rho^{2}} =\frac{\dfrac{\rho^{2}-x^{2}}{\rho}}{\rho^{2}} =\frac{\rho^{2}-x^{2}}{\rho^{3}}.
Lembrando que \rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, podemos reescrever
\frac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}}=\frac{\rho^{2}-x^{2}}{\rho^{3}}=\frac{y^{2}+z^{2}}{\rho^{3}}.

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio (simetria entre x,y,z) obtemos
\frac{\partial^{2}\rho}{\partial y^{2}}=\frac{\rho^{2}-y^{2}}{\rho^{3}},\qquad \frac{\partial^{2}\rho}{\partial z^{2}}=\frac{\rho^{2}-z^{2}}{\rho^{3}}.

Passo 6

Somando as três segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\rho}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\rho}{\partial z^{2}} =\frac{(\rho^{2}-x^{2})+(\rho^{2}-y^{2})+(\rho^{2}-z^{2})}{\rho^{3}}.
No numerador:
(\rho^{2}-x^{2})+(\rho^{2}-y^{2})+(\rho^{2}-z^{2})=3\rho^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3\rho^{2}-\rho^{2}=2\rho^{2}.
Portanto a soma fica
\frac{2\rho^{2}}{\rho^{3}}=\frac{2}{\rho}.

Passo 7

Concluímos que, para \rho\neq0,
\frac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\rho}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\rho}{\partial z^{2}}=\frac{2}{\rho}.

Resposta

\frac{\partial^{2}\rho}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\rho}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\rho}{\partial z^{2}}=\frac{2}{\rho}

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