Calcule as derivadas das funções abaixo :
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
O que é solicitado: calcular
.
Informações relevantes dadas:
- A função é o produto de duas funções:
e . - Não há mais condições externas (domínio, pontos específicos etc.). Apenas calcular a derivada em termos de
.
Passo 2
Estratégia (fórmulas que vou usar) — duas regras fundamentais:
- Regra do produto: se
, então
Expliquei: a derivada do produto é a soma da derivada do primeiro multiplicada pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo. É direto e fácil de aplicar passo a passo.
- Regra da cadeia: se uma função é composta
, então
Explicando de forma concreta: diferencia-se a função externa
avaliando-a na interna
e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Vou aplicar primeiro a regra do produto e depois a regra da cadeia para cada fator.
Passo 3
Derivada do primeiro fator
.
Aqui é uma composição:
com
e
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando a regra da cadeia:
Comentário: primeiro tira o expoente
e reduz para
, e multiplica pela derivada da expressão interna
.
Passo 4
Derivada do segundo fator
.
Também é uma composição:
com
.
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é .
Pela regra da cadeia:
Explicando: derivada externa dá
avaliado na interna; multiplica-se pela derivada da interna
.
Passo 5
Aplicar a regra do produto
substituindo
.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 6
Fatoração útil para simplificar (opcional, mas ajuda a enxergar estrutura):
todos os termos têm o fator comum . Colocando em evidência:
todos os termos têm o fator comum
Essa forma é mais compacta e costuma ser a preferida na prova: mostra o fator comum e deixa claro os dois termos restantes.