Calcule as derivadas das funções abaixo :
H(x)=\left(x^{2}+7 x-8\right)^{6} \cos \left(x^{3}+x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
H(x)=\left(x^{2}+7 x-8\right)^{6}\cos\left(x^{3}+x\right).
O que é solicitado: calcular H'(x).
Informações relevantes dadas:
  • A função é o produto de duas funções: u(x)=\left(x^{2}+7x-8\right)^{6} e v(x)=\cos\left(x^{3}+x\right).
  • Não há mais condições externas (domínio, pontos específicos etc.). Apenas calcular a derivada em termos de x.

Passo 2

Estratégia (fórmulas que vou usar) — duas regras fundamentais:
  1. Regra do produto: se H(x)=u(x)\,v(x), então
H'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Expliquei: a derivada do produto é a soma da derivada do primeiro multiplicada pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo. É direto e fácil de aplicar passo a passo.
  1. Regra da cadeia: se uma função é composta f(g(x)), então
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando de forma concreta: diferencia-se a função externa f avaliando-a na interna g(x) e multiplica-se pela derivada da função interna g'(x).
Vou aplicar primeiro a regra do produto e depois a regra da cadeia para cada fator.

Passo 3

Derivada do primeiro fator u(x)=\left(x^{2}+7x-8\right)^{6}.
Aqui é uma composição: u(x)=F(W(x)) com F(z)=z^{6} e W(x)=x^{2}+7x-8.
  • Derivada de F é F'(z)=6z^{5}.
  • Derivada de W é W'(x)=2x+7.
Aplicando a regra da cadeia:
u'(x)=6\bigl(x^{2}+7x-8\bigr)^{5}\cdot(2x+7).
Comentário: primeiro tira o expoente 6 e reduz para 5, e multiplica pela derivada da expressão interna 2x+7.

Passo 4

Derivada do segundo fator v(x)=\cos\left(x^{3}+x\right).
Também é uma composição: v(x)=\cos(S(x)) com S(x)=x^{3}+x.
  • Derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t).
  • Derivada de S é S'(x)=3x^{2}+1.
Pela regra da cadeia:
v'(x)=-\sin\bigl(x^{3}+x\bigr)\cdot(3x^{2}+1).
Explicando: derivada externa dá -\sin avaliado na interna; multiplica-se pela derivada da interna 3x^{2}+1.

Passo 5

Aplicar a regra do produto H'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) substituindo u',u,v'.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
H'(x)=6\bigl(x^{2}+7x-8\bigr)^{5}(2x+7)\cos\bigl(x^{3}+x\bigr) -\bigl(x^{2}+7x-8\bigr)^{6}(3x^{2}+1)\sin\bigl(x^{3}+x\bigr).

Passo 6

Fatoração útil para simplificar (opcional, mas ajuda a enxergar estrutura):
todos os termos têm o fator comum \bigl(x^{2}+7x-8\bigr)^{5}. Colocando em evidência:
H'(x)=\bigl(x^{2}+7x-8\bigr)^{5}\Bigl[6(2x+7)\cos\bigl(x^{3}+x\bigr) -\bigl(x^{2}+7x-8\bigr)(3x^{2}+1)\sin\bigl(x^{3}+x\bigr)\Bigr].
Essa forma é mais compacta e costuma ser a preferida na prova: mostra o fator comum e deixa claro os dois termos restantes.

Resposta

\displaystyle H'(x)=6\bigl(x^{2}+7x-8\bigr)^{5}(2x+7)\cos\bigl(x^{3}+x\bigr)-\bigl(x^{2}+7x-8\bigr)^{6}(3x^{2}+1)\sin\bigl(x^{3}+x\bigr)

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