Calcule as derivadas das funções abaixo:
y=\left(\frac{x^{2}-3 x}{2-x}\right)^{7}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\Bigl(\frac{x^{2}-3x}{2-x}\Bigr)^{7}.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia – para derivar a potência – e a regra do quociente – para derivar o termo interno \frac{x^{2}-3x}{2-x}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{x^{2}-3x}{2-x}.
Assim y=[u(x)]^{7} e podemos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
y'=7\,[u(x)]^{6}\,\cdot u'(x).

Passo 4

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente. Se \displaystyle u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} com N(x)=x^{2}-3x e D(x)=2-x, então
u'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^{2}} =\frac{(2x-3)(2-x)-(x^{2}-3x)(-1)}{(2-x)^{2}}.

Passo 5

Calculando o numerador:
(2x-3)(2-x)= -2x^{2}+7x-6, \quad -(x^{2}-3x)(-1)=+(x^{2}-3x),
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(2x-3)(2-x)-(x^{2}-3x)(-1) =-2x^{2}+7x-6 + x^{2}-3x =-x^{2}+4x-6.
Portanto
u'(x)=\frac{-x^{2}+4x-6}{(2-x)^{2}}.

Passo 6

Substituindo em y':
y' =7\Bigl(\frac{x^{2}-3x}{2-x}\Bigr)^{6} \cdot\frac{-x^{2}+4x-6}{(2-x)^{2}}.

Resposta

y' =7\Bigl(\frac{x^{2}-3x}{2-x}\Bigr)^{6}\,\frac{-x^{2}+4x-6}{(2-x)^{2}}
ou, escrevendo tudo sobre uma única potência de (2-x),
y'=-7\,\frac{(x^{2}-3x)^{6}(x^{2}-4x+6)}{(2-x)^{8}}.

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