Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
f(x)=\tan (2 x) \ln \left(1+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a derivada:
f(x)=\tan(2x)\,\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr).
O que precisamos encontrar é f'(x), a derivada de f em função de x. As informações relevantes são exatamente a expressão acima; não há outras condições.

Passo 2

Vamos separar a função em dois fatores para aplicar a regra do produto. Definimos
u(x)=\tan(2x),\qquad v(x)=\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr).
A regra do produto diz que, para f(x)=u(x)\,v(x),
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando: isso significa que a derivada do produto é a soma de (derivada do primeiro vezes o segundo) com (primeiro vezes a derivada do segundo). É uma fórmula padrão que facilita muito calcular derivadas de produtos.

Passo 3

Calculamos v'(x). Usamos a regra da cadeia junto com a derivada do logaritmo natural. A fórmula é: se v(x)=\ln(w(x)) então
v'(x)=\frac{w'(x)}{w(x)}.
Aqui w(x)=1+x^{2}, logo w'(x)=2x. Portanto
v'(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Comentário prático: a derivada do \ln transforma em uma fração, o numerador é a derivada do que está dentro do \ln e o denominador é o próprio argumento.

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Usamos a regra da cadeia para a tangente. A derivada de \tan(t) em relação a t é \operatorname{sec}^{2}(t) (ou seja \dfrac{1}{\cos^{2}(t)}). Se u(x)=\tan(w(x)), então
u'(x)=w'(x)\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(w(x)\bigr).
No nosso caso w(x)=2x e w'(x)=2. Logo
u'(x)=2\,\operatorname{sec}^{2}(2x).
Observação: \operatorname{sec}^{2}(2x) significa \bigl(\operatorname{sec}(2x)\bigr)^{2}=\dfrac{1}{\cos^{2}(2x)}.

Passo 5

Substituímos u, u', v, v' na regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =2\,\operatorname{sec}^{2}(2x)\,\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)+\tan(2x)\,\frac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 6

Podemos factorar um 2 comum para deixar a expressão mais compacta:
f'(x)=2\left[\operatorname{sec}^{2}(2x)\,\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)+\frac{x\,\tan(2x)}{1+x^{2}}\right].
Ambas as formas (com o 2 factorizado ou expandida) estão corretas; escolha a que preferir na prova.

Resposta

f'(x)=2\,\operatorname{sec}^{2}(2x)\,\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)+\dfrac{2x\,\tan(2x)}{1+x^{2}}

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