Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a derivada:
O que precisamos encontrar é
, a derivada de
em função de
. As informações relevantes são exatamente a expressão acima; não há outras condições.
Passo 2
Vamos separar a função em dois fatores para aplicar a regra do produto. Definimos
A regra do produto diz que, para
,
Explicando: isso significa que a derivada do produto é a soma de (derivada do primeiro vezes o segundo) com (primeiro vezes a derivada do segundo). É uma fórmula padrão que facilita muito calcular derivadas de produtos.
Passo 3
Calculamos
. Usamos a regra da cadeia junto com a derivada do logaritmo natural. A fórmula é: se
então
Aqui
, logo
. Portanto
Comentário prático: a derivada do
transforma em uma fração, o numerador é a derivada do que está dentro do
e o denominador é o próprio argumento.
Passo 4
Agora calculamos
. Usamos a regra da cadeia para a tangente. A derivada de
em relação a
é
(ou seja
). Se
, então
No nosso caso
e
. Logo
Observação:
significa
.
Passo 5
Substituímos
na regra do produto:
Passo 6
Podemos factorar um
comum para deixar a expressão mais compacta:
Ambas as formas (com o
factorizado ou expandida) estão corretas; escolha a que preferir na prova.