Calcule as derivadas das funções
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Não há outros dados numéricos; a única tarefa é obter a expressão simbólica da derivada.
Passo 2
Vamos reescrever a função como uma composição de funções para identificar claramente as camadas que aparecem:
Então
Aqui temos uma composição em três níveis:
- a função mais exterior
, onde ; - a função do meio
, onde ; - a função interior
.
Passo 3
Recordando a regra da cadeia (explicação didática): se uma função é composta, por exemplo
, a derivada é
No nosso caso precisamos aplicar a regra da cadeia em cascata porque há três níveis. Cada vez que “abrimos” uma camada multiplicamos pela derivada dessa camada.
Também precisamos das derivadas básicas:
- Derivada da potência: se
, então . - Derivada do cosseno: se
, então .
Vou explicar o que cada símbolo significa:
é uma variável intermediária que representa
;
representa
. As fórmulas acima dizem como variar essas funções quando a sua entrada varia.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
primeiro derivamos a camada exterior em relação a
e multiplicamos pela derivada da camada do meio
, avaliada em
. Isso dá
primeiro derivamos a camada exterior
Aqui usei
com
.
Passo 5
Agora derivamos a camada do meio
. Pela regra da cadeia novamente (derivada do cosseno vezes derivada do argumento),
Substituindo isso na expressão do Passo 4 obtemos
Podemos reunir os sinais e fatores:
Passo 6
Falta calcular
com
. Aqui usamos a regra do quociente. Vou explicar essa regra: se
então
No nosso caso
e
. Calculando:
Aplicando a fórmula do quociente:
Passo 7
Agora substituímos
e
na expressão de
. Lembrando que
, obtemos
Podemos escrever de forma compacta como
Passo 8
Pequena verificação intuitiva (opcional): se tivéssemos
a derivada seria
. Aqui a única diferença é que o argumento
foi trocado por
e multiplicamos ainda por
, exatamente como impõe a regra da cadeia. Isso bate com o resultado obtido.