Calcule as derivadas das funções
f(x)=\cos ^{3}\left(\frac{x}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\cos^{3}\!\left(\frac{x}{x+1}\right)
e pede para calcular a derivada f'(x). Não há outros dados numéricos; a única tarefa é obter a expressão simbólica da derivada.

Passo 2

Vamos reescrever a função como uma composição de funções para identificar claramente as camadas que aparecem:
\text{definir }u(x)=\frac{x}{x+1}.
Então
f(x)=\big(\cos(u(x))\big)^{3}.
Aqui temos uma composição em três níveis:
  • a função mais exterior g(t)=t^{3}, onde t=\cos(u(x));
  • a função do meio h(s)=\cos(s), onde s=u(x);
  • a função interior u(x)=\dfrac{x}{x+1}.

Passo 3

Recordando a regra da cadeia (explicação didática): se uma função é composta, por exemplo F(x)=G(H(x)), a derivada é
F'(x)=G'\big(H(x)\big)\cdot H'(x).
No nosso caso precisamos aplicar a regra da cadeia em cascata porque há três níveis. Cada vez que “abrimos” uma camada multiplicamos pela derivada dessa camada.
Também precisamos das derivadas básicas:
  • Derivada da potência: se g(t)=t^{3}, então g'(t)=3t^{2}.
  • Derivada do cosseno: se h(s)=\cos(s), então h'(s)=-\sin(s).
Vou explicar o que cada símbolo significa: t é uma variável intermediária que representa \cos(u(x)); s representa u(x). As fórmulas acima dizem como variar essas funções quando a sua entrada varia.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
primeiro derivamos a camada exterior g(t)=t^{3} em relação a t e multiplicamos pela derivada da camada do meio h(s)=\cos(s), avaliada em s=u(x). Isso dá
\frac{d}{dx}\big(\cos(u(x))\big)^{3}=3\big(\cos(u(x))\big)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(u(x))\big).
Aqui usei g'(t)=3t^{2} com t=\cos(u(x)).

Passo 5

Agora derivamos a camada do meio \cos(u(x)). Pela regra da cadeia novamente (derivada do cosseno vezes derivada do argumento),
\frac{d}{dx}\big(\cos(u(x))\big)=-\sin(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo isso na expressão do Passo 4 obtemos
f'(x)=3\cos^{2}\big(u(x)\big)\cdot\big(-\sin(u(x))\big)\cdot u'(x).
Podemos reunir os sinais e fatores:
f'(x)=-3\cos^{2}\big(u(x)\big)\sin\big(u(x)\big)\,u'(x).

Passo 6

Falta calcular u'(x) com u(x)=\dfrac{x}{x+1}. Aqui usamos a regra do quociente. Vou explicar essa regra: se u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
u'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
No nosso caso p(x)=x e q(x)=x+1. Calculando:
p'(x)=1,\qquad q'(x)=1.
Aplicando a fórmula do quociente:
u'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-x}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 7

Agora substituímos u(x) e u'(x) na expressão de f'(x). Lembrando que u(x)=\dfrac{x}{x+1}, obtemos
f'(x)=-3\cos^{2}\!\left(\frac{x}{x+1}\right)\sin\!\left(\frac{x}{x+1}\right)\cdot\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Podemos escrever de forma compacta como
f'(x)=-\frac{3\cos^{2}\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\sin\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)}{(x+1)^{2}}.

Passo 8

Pequena verificação intuitiva (opcional): se tivéssemos f(x)=(\cos x)^{3} a derivada seria -3\cos^{2}x\sin x. Aqui a única diferença é que o argumento x foi trocado por u(x)=x/(x+1) e multiplicamos ainda por u'(x)=1/(x+1)^{2}, exatamente como impõe a regra da cadeia. Isso bate com o resultado obtido.

Resposta

f'(x)=-\frac{3\cos^{2}\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\sin\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)}{(x+1)^{2}}

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