Calcule as derivadas das funções
f(x)=\operatorname{cossec} x \operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=\operatorname{cossec} x\\ \operatorname{cotg} x. Em notação usual de LaTeX vou escrever isso como f(x)=\csc x\;\cot x.
Pergunta: calcular a(s) derivada(s) de f. Também é útil observar o domínio: \sin x\neq0, logo x\neq k\pi para k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significam as funções trigonométricas envolvidas, porque isso ajuda a derivar sem erro:
  • \csc x é a cosecante, definida por \csc x=\dfrac{1}{\sin x}.
  • \cot x é a cotangente, definida por \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
Essas expressões mostram porque o domínio exclui os pontos onde \sin x=0.

Passo 3

Precisamos das derivadas básicas das funções trigonométricas que aparecem. Vou deduzir as duas que vamos usar, passo a passo.
Derivada de \csc x:
\csc x = (\sin x)^{-1}.
Usando a regra da cadeia (derivada de g(x)=h(x)^{-1} é -h'(x)h(x)^{-2}) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr) = -(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Agora escrevemos isso em termos de \csc e \cot. Como \frac{\cos x}{\sin^2 x}=\csc x\cot x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr) = -\csc x\cot x.
Derivada de \cot x:
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}.
Usando a regra do quociente (ou diferenciando \cot x=(\tan x)^{-1}), obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) = -\csc^2 x.
Mostrando por quociente: \dfrac{d}{dx}(\cos x/\sin x)=\dfrac{-\sin x\cdot\sin x-\cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x}=-\dfrac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x}=-\dfrac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x.
Resumo das derivadas que usaremos:
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr) = -\csc x\cot x,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) = -\csc^2 x.

Passo 4

A função f é um produto de duas funções: u(x)=\csc x e v(x)=\cot x. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'v+uv'.
Vamos aplicar isso com u=\csc x e v=\cot x.

Passo 5

Calcule u' e v' (pegando as fórmulas do Passo 3):
u'=\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)=-\csc x\cot x, \qquad v'=\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr)=-\csc^2 x.
Agora aplique a regra do produto:
f'(x)=u'v+uv' = \bigl(-\csc x\cot x\bigr)\cot x + \csc x\bigl(-\csc^2 x\bigr).

Passo 6

Desenvolvendo e agrupando termos:
f'(x) = -\csc x\cot^2 x - \csc^3 x.
Fatorando -\csc x:
f'(x) = -\csc x\bigl(\cot^2 x + \csc^2 x\bigr).

Passo 7

Podemos ainda simplificar usando a identidade pitagórica das cotangente/cosecante:
1+\cot^2 x=\csc^2 x \quad\Rightarrow\quad \cot^2 x=\csc^2 x-1.
Substituindo em \cot^2 x+\csc^2 x
\cot^2 x+\csc^2 x = (\csc^2 x-1)+\csc^2 x = 2\csc^2 x-1.
Logo outra forma equivalente é
f'(x) = -\csc x\bigl(2\csc^2 x-1\bigr) = -2\csc^3 x + \csc x.

Resposta

f'(x) = -\csc x\bigl(\cot^2 x + \csc^2 x\bigr) = -2\csc^3 x + \csc x.

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