Calcule as derivadas das funções
Passo 1
O enunciado fornece a função
. Em notação usual de LaTeX vou escrever isso como
.
Pergunta: calcular a(s) derivada(s) de
. Também é útil observar o domínio:
, logo
para
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significam as funções trigonométricas envolvidas, porque isso ajuda a derivar sem erro:
-
é a cosecante, definida por . -
é a cotangente, definida por .
Essas expressões mostram porque o domínio exclui os pontos onde
.
Passo 3
Precisamos das derivadas básicas das funções trigonométricas que aparecem. Vou deduzir as duas que vamos usar, passo a passo.
Derivada de
:
Usando a regra da cadeia (derivada de
é
) obtemos
Agora escrevemos isso em termos de
e
. Como
, temos
Derivada de
:
Usando a regra do quociente (ou diferenciando
), obtemos
Mostrando por quociente:
Resumo das derivadas que usaremos:
Passo 4
A função
é um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Vamos aplicar isso com
e
.
Passo 5
Calcule
e
(pegando as fórmulas do Passo 3):
Agora aplique a regra do produto:
Passo 6
Desenvolvendo e agrupando termos:
Fatorando
:
Passo 7
Podemos ainda simplificar usando a identidade pitagórica das cotangente/cosecante:
Substituindo em
dá
Logo outra forma equivalente é