Calcule as derivadas das funções
f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função
f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}+2}.
Informações dadas e observações iniciais que importam:
  • A função está escrita com raiz quadrada: \sqrt{x}.
  • Domínio natural da função: \;x\ge 0\; (porque \sqrt{x} só é real para x\ge0).
  • Note que o denominador \sqrt{x}+2 é sempre positivo para x\ge0, então não há singularidade do tipo divisão por zero dentro do domínio.
  • O objetivo: encontrar a derivada (principalmente a primeira derivada) de f em pontos do domínio.

Passo 2

Reescrevemos a função de forma que fique mais fácil aplicar regras de diferenciação: escrever a raiz como potência.
\sqrt{x}=x^{1/2}, \qquad \text{logo} \qquad f(x)=\frac{3}{x^{1/2}+2}.

Passo 3

Lembrete das regras que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Regra da potência: para g(x)=x^{n} com n constante, tem-se g'(x)=n x^{n-1}.Exemplo concreto: a derivada de \sqrt{x}=x^{1/2} é \frac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.Aqui \tfrac{1}{2}x^{-1/2} significa \tfrac{1}{2}\cdot x^{-1/2}.
  • Derivada de uma função do tipo h(x)=\dfrac{1}{u(x)}: usar a regra do recíproco (ou derivada da função u^{-1}): \frac{d}{dx}\big(u(x)^{-1}\big) = -\frac{u'(x)}{(u(x))^{2}}.Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicada a t\mapsto t^{-1}.
  • Se houver um fator constante multiplicando, por exemplo 3\cdot(\cdot), ele sai multiplicando a derivada: \frac{d}{dx}\big(3\cdot v(x)\big)=3\,v'(x).

Passo 4

Aplicamos as ideias anteriores escolhendo u(x)=x^{1/2}+2. Então f(x)=3\cdot u(x)^{-1}.
  • Primeiro calcule u'(x). Como u(x)=x^{1/2}+2, u'(x)=\frac{d}{dx}x^{1/2}+\frac{d}{dx}2=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}+0=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Agora, usando a regra do recíproco para u^{-1} e lembrando do fator 3, \frac{d}{dx}\big(u(x)^{-1}\big) = -\frac{u'(x)}{(u(x))^{2}}portanto a derivada de f (antes de simplificar) é f'(x)=3\cdot\left(-\frac{u'(x)}{(u(x))^{2}}\right) =-3\cdot\frac{\tfrac{1}{2}x^{-1/2}}{\big(x^{1/2}+2\big)^{2}}.

Passo 5

Fazemos a simplificação algébrica passo a passo:
  • O numerador tem -3 multiplicando \tfrac{1}{2}x^{-1/2}, então juntamos constantes: -3\cdot\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=-\tfrac{3}{2}x^{-1/2}.
  • Substituindo esto na expressão do passo anterior: f'(x)=-\tfrac{3}{2}\,\frac{x^{-1/2}}{\big(x^{1/2}+2\big)^{2}}.
  • Reescrevendo x^{-1/2} como 1/\sqrt{x} e x^{1/2} como \sqrt{x} para ficar mais claro: f'(x)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{\big(\sqrt{x}+2\big)^{2}} =-\frac{3}{2\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+2)^{2}}.

Passo 6

Observações finais sobre domínio e existência da derivada:
  • A expressão encontrada para f'(x) contém \sqrt{x} no denominador, portanto é válida apenas para x>0.
  • Em x=0 a derivada não é finita (o termo 1/\sqrt{x} diverge), então f não tem derivada finita em x=0. Ainda assim f está definida em x=0 (pois f(0)=3/2), mas não é diferenciável em 0.
  • Para qualquer x>0 a expressão acima fornece corretamente a derivada.

Passo 7

Pequeno exemplo extra para fixar (mesma estrutura): se g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+a} com a constante, então, pelo mesmo raciocínio,
g'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+a)^{2}},
o que é totalmente análogo ao que fizemos aqui (só muda o fator constante 3 do problema original).

Resposta

f'(x)=-\frac{3}{2\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+2)^{2}},\qquad x>0

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