Calcule as derivadas das funções
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
Informações dadas e observações iniciais que importam:
- A função está escrita com raiz quadrada:
. - Domínio natural da função:
(porque só é real para ). - Note que o denominador
é sempre positivo para , então não há singularidade do tipo divisão por zero dentro do domínio. - O objetivo: encontrar a derivada (principalmente a primeira derivada) de
em pontos do domínio.
Passo 2
Reescrevemos a função de forma que fique mais fácil aplicar regras de diferenciação: escrever a raiz como potência.
Passo 3
Lembrete das regras que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Regra da potência: para
com constante, tem-se Exemplo concreto: a derivada de é Aqui significa . - Derivada de uma função do tipo
: usar a regra do recíproco (ou derivada da função ): Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicada a . - Se houver um fator constante multiplicando, por exemplo
, ele sai multiplicando a derivada:
Passo 4
Aplicamos as ideias anteriores escolhendo
. Então
.
- Primeiro calcule
. Como , - Agora, usando a regra do recíproco para
e lembrando do fator , portanto a derivada de (antes de simplificar) é
Passo 5
Fazemos a simplificação algébrica passo a passo:
- O numerador tem
multiplicando , então juntamos constantes: - Substituindo esto na expressão do passo anterior:
- Reescrevendo
como e como para ficar mais claro:
Passo 6
Observações finais sobre domínio e existência da derivada:
- A expressão encontrada para
contém no denominador, portanto é válida apenas para . - Em
a derivada não é finita (o termo diverge), então não tem derivada finita em . Ainda assim está definida em (pois ), mas não é diferenciável em . - Para qualquer
a expressão acima fornece corretamente a derivada.
Passo 7
Pequeno exemplo extra para fixar (mesma estrutura): se
com
constante, então, pelo mesmo raciocínio,
o que é totalmente análogo ao que fizemos aqui (só muda o fator constante
do problema original).