Calcule as derivadas das funções
Passo 1
O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função dada. A função fornecida é
Pergunta clara: encontrar
(a derivada de
em relação a
).
Informações úteis fornecidas pelo enunciado: a função é uma razão envolvendo funções trigonométricas e
.
Informações úteis fornecidas pelo enunciado: a função é uma razão envolvendo funções trigonométricas
Passo 2
Primeira simplificação útil (identidade trigonométrica): lembrar que
Portanto
Ou, escrevendo com a notação trigonométrica padrão,
Essa forma em produto costuma ser mais simples para derivar do que manter a razão com
.
Passo 3
Vou lembrar as regras básicas que vamos usar (explicando bem cada uma):
- Regra do produto: se
, então Aqui é a derivada de e é a derivada de . - Regra da cadeia (para funções compostas): se
, então Ou seja, deriva a função externa avaliada na interna e multiplica pela derivada da interna . - Derivadas trigonométricas básicas:
Pela regra da cadeia, por exemplo, .
Vamos aplicar tudo isso ao produto
.
Passo 4
Defino
e
. Calculamos as derivadas parciais:
-
(derivada de ). - Para
usamos a regra da cadeia: a função externa é e a interna é . Assim E . Então
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
:
Simplificando o sinal:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, só para conferir): se alguém preferir usar a forma original com quociente, aplicando a regra do quociente e sabendo que
, ao simplificar obviamente chega-se à mesma expressão final. Isso só confirma que o resultado obtido via produto + cadeia está correto.
Passo 6
Dica prática para a prova: quando der uma razão com
(ou
), pense em transformar para produto com
(ou
) — geralmente o produto + cadeia fica mais direto e menos sujeito a erros de sinais do que aplicar direto a regra do quociente com derivadas de
e
. E lembre-se sempre de derivar a função externa e multiplicar pela derivada da interna (regra da cadeia).