Calcule as derivadas das funções
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sec} (3 x+1)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função dada. A função fornecida é
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sec}(3x+1)}.
Pergunta clara: encontrar f'(x) (a derivada de f em relação a x).
Informações úteis fornecidas pelo enunciado: a função é uma razão envolvendo funções trigonométricas \operatorname{sen}x e \operatorname{sec}(3x+1).

Passo 2

Primeira simplificação útil (identidade trigonométrica): lembrar que
\operatorname{sec} t=\frac{1}{\cos t}.
Portanto
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sec}(3x+1)}=\operatorname{sen} x\cdot\cos(3x+1).
Ou, escrevendo com a notação trigonométrica padrão,
f(x)=\sin x\cdot\cos(3x+1).
Essa forma em produto costuma ser mais simples para derivar do que manter a razão com \operatorname{sec}.

Passo 3

Vou lembrar as regras básicas que vamos usar (explicando bem cada uma):
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)\,v(x), então g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se h(x)=\varphi(\psi(x)), então h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).Ou seja, deriva a função externa \varphi avaliada na interna \psi(x) e multiplica pela derivada da interna \psi'(x).
  • Derivadas trigonométricas básicas: \frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.Pela regra da cadeia, por exemplo, \dfrac{d}{dx}\sin(kx+b)=k\cos(kx+b).
Vamos aplicar tudo isso ao produto \sin x\cdot\cos(3x+1).

Passo 4

Defino u(x)=\sin x e v(x)=\cos(3x+1). Calculamos as derivadas parciais:
  • u'(x)=\cos x (derivada de \sin x).
  • Para v'(x) usamos a regra da cadeia: a função externa é \cos(t) e a interna é t=3x+1. Assim v'(x)=\frac{d}{dx}\cos(3x+1)=-\sin(3x+1)\cdot\frac{d}{dx}(3x+1).E \dfrac{d}{dx}(3x+1)=3. Então v'(x)=-3\sin(3x+1).
Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\cos x\cdot\cos(3x+1)+\sin x\cdot\big(-3\sin(3x+1)\big).
Simplificando o sinal:
f'(x)=\cos x\cos(3x+1)-3\sin x\sin(3x+1).

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, só para conferir): se alguém preferir usar a forma original com quociente, aplicando a regra do quociente e sabendo que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(3x+1)=3\operatorname{sec}(3x+1)\tan(3x+1), ao simplificar obviamente chega-se à mesma expressão final. Isso só confirma que o resultado obtido via produto + cadeia está correto.

Passo 6

Dica prática para a prova: quando der uma razão com \operatorname{sec} (ou \csc), pense em transformar para produto com \cos (ou \sin) — geralmente o produto + cadeia fica mais direto e menos sujeito a erros de sinais do que aplicar direto a regra do quociente com derivadas de \operatorname{sec} e \tan. E lembre-se sempre de derivar a função externa e multiplicar pela derivada da interna (regra da cadeia).

Resposta

f'(x)=\cos x\cos(3x+1)-3\sin x\sin(3x+1)

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