Calcule as derivadas das funções:
f(x)=\frac{2 x \ln \left(x^{2}+1\right)}{\operatorname{sen}\left(e^{x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{2x\ln\!\left(x^{2}+1\right)}{\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é u(x)=2x\ln\!\left(x^{2}+1\right).
  • O denominador é v(x)=\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right).
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos derivar o numerador u(x)=2x\ln\!\left(x^{2}+1\right). Aqui usamos a regra do produto: se h(x)=p(x)q(x) então
h'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
No nosso caso p(x)=2x e q(x)=\ln\!\left(x^{2}+1\right).
Calculamos p'(x) e q'(x):
  • p'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2.
  • Para q'(x)=\frac{d}{dx}\ln\!\left(x^{2}+1\right) usamos a regra da cadeia: se q(x)=\ln(g(x)) então q'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}. Aqui g(x)=x^{2}+1 e g'(x)=2x. Logo
q'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=2\cdot\ln\!\left(x^{2}+1\right)+2x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.
Simplificando o segundo termo:
u'(x)=2\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\frac{4x^{2}}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora derivamos o denominador v(x)=\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right). Novamente usamos a regra da cadeia: se v(x)=\operatorname{sen}(g(x)) então v'(x)=g'(x)\cos(g(x)).
Aqui g(x)=e^{x} e g'(x)=e^{x}. Portanto
v'(x)=e^{x}\cos\!\left(e^{x}\right).

Passo 4

Usamos a regra do quociente para derivar f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}. A regra diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Substituímos u,u',v,v' obtidos nos passos anteriores:
u(x)=2x\ln\!\left(x^{2}+1\right), \qquad u'(x)=2\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\frac{4x^{2}}{x^{2}+1},
v(x)=\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right), \qquad v'(x)=e^{x}\cos\!\left(e^{x}\right).
Portanto
f'(x)=\frac{\left(2\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{4x^{2}}{x^{2}+1}\right)\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right) -2x\ln\!\left(x^{2}+1\right)\,e^{x}\cos\!\left(e^{x}\right)} {\operatorname{sen}^{2}\!\left(e^{x}\right)}.

Passo 5

Podemos fatorar um 2 para deixar a expressão um pouco mais compacta. Observe que o segundo termo do numerador já tem fator 2:
f'(x)=\frac{2\Biggl[\left(\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x^{2}}{x^{2}+1}\right)\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right) -x\ln\!\left(x^{2}+1\right)\,e^{x}\cos\!\left(e^{x}\right)\Biggr]} {\operatorname{sen}^{2}\!\left(e^{x}\right)}.
Essa forma é equivalente à anterior e pode ser útil para identificar fatores comuns em situações de simplificação adicional.

Resposta

f'(x)=\frac{\left(2\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{4x^{2}}{x^{2}+1}\right)\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right) -2x\ln\!\left(x^{2}+1\right)\,e^{x}\cos\!\left(e^{x}\right)} {\operatorname{sen}^{2}\!\left(e^{x}\right)}.

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