Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vamos derivar o numerador
. Aqui usamos a regra do produto: se
então
No nosso caso
e
.
Calculamos
e
:
-
. - Para
usamos a regra da cadeia: se então . Aqui e . Logo
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Passo 3
Agora derivamos o denominador
. Novamente usamos a regra da cadeia: se
então
.
Aqui e
. Portanto
Aqui
Passo 4
Usamos a regra do quociente para derivar
. A regra diz:
Substituímos
obtidos nos passos anteriores:
Portanto
Passo 5
Podemos fatorar um
para deixar a expressão um pouco mais compacta. Observe que o segundo termo do numerador já tem fator
:
Essa forma é equivalente à anterior e pode ser útil para identificar fatores comuns em situações de simplificação adicional.