Calcule as derivadas das funções:
f(x)=\frac{2 x \operatorname{sen} x}{\ln \left(e^{x}+x^{2}+1\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{2x\operatorname{sen}x}{\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)}.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
u(x)=2x\operatorname{sen}x\quad\text{(numerador)},
v(x)=\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\quad\text{(denominador)}.
O objetivo final é obter f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos aplicar (com explicações simples):
  • Regra do produto: se \displaystyle p(x)=a(x)\,b(x), então
p'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x).
Aqui a(x) e b(x) são quaisquer funções; a regra diz que derivamos uma de cada vez e somamos os produtos.
  • Regra do quociente: se \displaystyle q(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
q'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}.
  • Regra da cadeia aplicada à função \ln: se \displaystyle v(x)=\ln\big(g(x)\big), então
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
  • Derivadas básicas que usaremos:
\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x},\quad \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Derivar o numerador \displaystyle u(x)=2x\operatorname{sen}x usando a regra do produto. Tome a(x)=2x e b(x)=\operatorname{sen}x.
a'(x)=2,\qquad b'(x)=\cos x.
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=2\operatorname{sen}x+2x\cos x.
Podemos escrever de forma factorizada:
u'(x)=2\big(\operatorname{sen}x+x\cos x\big).

Passo 4

Derivar o denominador \displaystyle v(x)=\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big) usando a regra da cadeia. Defina g(x)=e^{x}+x^{2}+1.
g'(x)=e^{x}+2x.
Assim,
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{e^{x}+2x}{e^{x}+x^{2}+1}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}.
Substituindo u,u',v,v' que já achamos:
f'(x)=\frac{\big[2(\operatorname{sen}x+x\cos x)\big]\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)-\big[2x\operatorname{sen}x\big]\dfrac{e^{x}+2x}{e^{x}+x^{2}+1}}{\big(\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\big)^{2}}.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para ficar mais legível. Colocamos um fator comum 2 no numerador e, para concatenar os termos, colocamos sobre um denominador comum e^{x}+x^{2}+1:
O numerador (antes de dividir por \big(\ln(\cdot)\big)^{2}) é
2\left[(\operatorname{sen}x+x\cos x)\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)-\frac{x\operatorname{sen}x\,(e^{x}+2x)}{e^{x}+x^{2}+1}\right].
Colocando sobre o denominador comum e^{x}+x^{2}+1 dentro do colchete:
2\cdot\frac{(\operatorname{sen}x+x\cos x)\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\big(e^{x}+x^{2}+1\big)-x\operatorname{sen}x\,(e^{x}+2x)}{e^{x}+x^{2}+1}.
Logo, juntando tudo,
f'(x)=\frac{2\left[(\operatorname{sen}x+x\cos x)\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)-x\operatorname{sen}x\,(e^{x}+2x)\right]}{\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\big(\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\big)^{2}}.

Passo 7

Interpretação final (dica para prova): a forma acima já é uma expressão correta e relativamente simplificada. Se quiser, pode expandir os parênteses, mas isso geralmente piora a legibilidade. Na prova, mostre claramente cada etapa (produto → derivada do numerador, cadeia → derivada do logaritmo, quociente → colocar tudo junto) e apresente a forma factorizada como fizemos — isso evita erros algébricos.

Resposta

f'(x)=\frac{2\left[(\operatorname{sen}x+x\cos x)\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)-x\operatorname{sen}x\,(e^{x}+2x)\right]}{\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\big(\ln\!\big(e^{x}+x^{2}+1\big)\big)^{2}}.

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