Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
O objetivo final é obter
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos aplicar (com explicações simples):
- Regra do produto: se
, então
Aqui
e
são quaisquer funções; a regra diz que derivamos uma de cada vez e somamos os produtos.
- Regra do quociente: se
, então
- Regra da cadeia aplicada à função
: se , então
- Derivadas básicas que usaremos:
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Derivar o numerador
usando a regra do produto. Tome
e
.
Aplicando a regra do produto:
Podemos escrever de forma factorizada:
Passo 4
Derivar o denominador
usando a regra da cadeia. Defina
.
Assim,
Passo 5
Agora aplicamos a regra do quociente para
:
Substituindo
que já achamos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para ficar mais legível. Colocamos um fator comum
no numerador e, para concatenar os termos, colocamos sobre um denominador comum
:
O numerador (antes de dividir por ) é
O numerador (antes de dividir por
Colocando sobre o denominador comum
dentro do colchete:
Logo, juntando tudo,
Passo 7
Interpretação final (dica para prova): a forma acima já é uma expressão correta e relativamente simplificada. Se quiser, pode expandir os parênteses, mas isso geralmente piora a legibilidade. Na prova, mostre claramente cada etapa (produto → derivada do numerador, cadeia → derivada do logaritmo, quociente → colocar tudo junto) e apresente a forma factorizada como fizemos — isso evita erros algébricos.