Considere
.
a) Mostre que A é auto-adjunto no produto interno usual (ou seja,
).
b) Determine os autovalores de A .
a) Mostre que A é auto-adjunto no produto interno usual (ou seja,
b) Determine os autovalores de A .
Passo 1
O enunciado dá a matriz
. Precisamos:
a) Mostrar que é auto-adjunto no produto interno usual (ou seja,
).
b) Determinar os autovalores de .
a) Mostrar que
b) Determinar os autovalores de
Informações relevantes dadas: a notação
indica uma matriz
cujas entradas, lidas como colunas, são
e
. Logo, explicitamente,
Passo 2
Definição e ideia usada para (a). No produto interno usual (o escalar euclidiano), um operador linear dado por uma matriz
é auto-adjunto (ou simétrico, no caso real) quando a matriz que representa seu adjunto é igual a
. No caso real e na base canônica, o adjunto corresponde à transposta. Portanto precisamos verificar que
Vou explicar o que é transposta: se
, então
. Ou seja, trocamos linhas por colunas.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa matriz. As entradas de
são
A transposta troca índices, então
Comparando, vemos que
. Logo
é auto-adjunto (simétrica) no produto interno usual. Pequeno incentivo: isso significa que
tem propriedades legais na prova, por exemplo autovalores reais e autovetores ortogonais.]
Passo 4
Preparando para (b): autovalores
são soluções de
. Vou montar
e calcular o determinante. Primeiro
Para matrizes
, a fórmula do determinante é simples: se
, então
. Vou aplicar isso.]
Passo 5
Calcule o polinômio característico:
Expandindo,
Então os autovalores são raízes do polinômio
. Resolvo a equação quadrática: o discriminante é
portanto as raízes são
Assim obtemos
e
.]
Passo 6
Cheque rápido (intuitivo) usando traço e determinante: para
a soma dos autovalores é o traço e o produto é o determinante. Aqui
e
. Nossos autovalores
e
somam
e multiplicam
, conferindo certinho. Força aí — você já tem o principal resultado que vai cair na prova!
Resposta
a)
é auto-adjunto (
).
b) Autovalores: e
.
b) Autovalores: