Calcule as derivadas das funções a seguir.
f(x)=9\left(x^{2}+1\right) \arctan (x).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=9\bigl(x^{2}+1\bigr)\arctan(x).
Informações dadas:
  • A função é o produto de 9, do polinômio \,x^{2}+1, e da função \arctan(x).
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Estratégia e regras que vou usar (explicadas de forma didática):
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) é diferenciável, então \bigl(c\,g(x)\bigr)' = c\,g'(x). Ou seja, posso “puxar” o 9 para fora da derivada.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Isto significa que a derivada do produto é a soma de “derivada do primeiro vezes o segundo” com “primeiro vezes derivada do segundo”.
  • Derivada de um polinômio simples: \bigl(x^{2}\bigr)' = 2x e \bigl(1\bigr)' = 0, logo \bigl(x^{2}+1\bigr)' = 2x.
  • Derivada de \arctan(x): uma forma clara de obter é por diferenciação implícita. Se \,y=\arctan(x) então \tan(y)=x. Derivando ambos os lados em relação a x,
\operatorname{sec}^{2}(y)\,y' = 1.
Como \operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y) e \tan(y)=x, obtemos \operatorname{sec}^{2}(y)=1+x^{2}. Portanto
y'=\frac{1}{1+x^{2}}.
Logo \bigl(\arctan(x)\bigr)'=\dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Aplicando a regra do fator constante: escrevo
f(x)=9\cdot g(x), \qquad\text{onde}\qquad g(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)\arctan(x).
Assim
f'(x)=9\,g'(x).

Passo 4

Agora vou derivar g(x) usando a regra do produto com
u(x)=x^{2}+1 \qquad\text{e}\qquad v(x)=\arctan(x).
Calculando as derivadas separadas:
u'(x)=2x, \qquad v'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
g'(x)=2x\cdot\arctan(x)+(x^{2}+1)\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 6

Simplifico a expressão (x^{2}+1)\cdot\dfrac{1}{1+x^{2}}. Como x^{2}+1=1+x^{2}, essa razão vale 1. Portanto
g'(x)=2x\,\arctan(x)+1.

Passo 7

Volto para f'(x)=9\,g'(x) e substituo g'(x):
f'(x)=9\bigl(2x\,\arctan(x)+1\bigr).
Posso distribuir o 9 para ficar mais explícito:
f'(x)=18x\,\arctan(x)+9.

Resposta

f'(x)=18x\arctan(x)+9

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