Calcule as derivadas das funções a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é o produto de
, do polinômio , e da função . - O objetivo é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Estratégia e regras que vou usar (explicadas de forma didática):
- Regra do fator constante: se
é constante e é diferenciável, então . Ou seja, posso “puxar” o para fora da derivada. - Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então
Isto significa que a derivada do produto é a soma de “derivada do primeiro vezes o segundo” com “primeiro vezes derivada do segundo”.
- Derivada de um polinômio simples:
e , logo . - Derivada de
: uma forma clara de obter é por diferenciação implícita. Se então . Derivando ambos os lados em relação a ,
Como
e
, obtemos
. Portanto
Logo
.
Passo 3
Aplicando a regra do fator constante: escrevo
Assim
Passo 4
Agora vou derivar
usando a regra do produto com
Calculando as derivadas separadas:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
obtidos:
Passo 6
Simplifico a expressão
. Como
, essa razão vale
. Portanto
Passo 7
Volto para
e substituo
:
Posso distribuir o
para ficar mais explícito: