Calcule as derivadas das funções a seguir.
f(x)=\ln \left(\frac{x^{6}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\ln\!\left(\frac{x^{6}}{2}\right).
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é o logaritmo natural (ln) da expressão \dfrac{x^{6}}{2}.
  • O argumento do logaritmo é \dfrac{x^{6}}{2}, que é positivo para todo x\neq0. Portanto o domínio natural da função é x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • A pergunta é: encontrar f'(x) para os x onde a função está definida.

Passo 2

Relembrando uma fórmula útil (cadeia): se g(x)=\ln(u(x)) então a derivada é dada por
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é a função dentro do logaritmo. Isso vem da regra da cadeia: derivada de \ln t em relação a t é 1/t, então aplicando a uma função u(x) obtemos u'(x)/u(x). Nesta fórmula, u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Identificar u(x) no nosso caso:
u(x)=\frac{x^{6}}{2}.
Calcular u'(x). A derivada de x^{6} é 6x^{5} e a constante 1/2 multiplica:
u'(x)=\frac{6x^{5}}{2}=3x^{5}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da cadeia para f(x)=\ln(u(x)):
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3x^{5}}{\dfrac{x^{6}}{2}}.
Agora simplificar essa fração passo a passo:
\frac{3x^{5}}{\dfrac{x^{6}}{2}}=3x^{5}\cdot\frac{2}{x^{6}}=\frac{6x^{5}}{x^{6}}=\frac{6}{x},
válido para x\neq0 (para evitar divisão por zero).

Passo 5

Forma alternativa (útil na prova): usar propriedades do logaritmo para simplificar antes de derivar. Primeiro,
\ln\!\left(\frac{x^{6}}{2}\right)=\ln(x^{6})-\ln 2=6\ln|x|-\ln 2,
onde foi usada a identidade \ln(x^{6})=6\ln|x| que garante que a expressão faz sentido para x<0 também. Derivando termo a termo:
  • a derivada de -\ln 2 é 0 (constante),
  • a derivada de 6\ln|x| é 6\cdot\frac{1}{x}=\frac{6}{x} para x\neq0.
    Resultado coincide com o do passo anterior: \dfrac{6}{x}.

Resposta

f'(x)=\frac{6}{x},\quad x\neq0

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