Calcule as derivadas das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é o logaritmo natural (ln) da expressão
. - O argumento do logaritmo é
, que é positivo para todo . Portanto o domínio natural da função é . - A pergunta é: encontrar
para os onde a função está definida.
Passo 2
Relembrando uma fórmula útil (cadeia): se
então a derivada é dada por
Aqui
é a função dentro do logaritmo. Isso vem da regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
, então aplicando a uma função
obtemos
. Nesta fórmula,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Identificar
no nosso caso:
Calcular
. A derivada de
é
e a constante
multiplica:
Passo 4
Aplicar a fórmula da cadeia para
:
Agora simplificar essa fração passo a passo:
válido para
(para evitar divisão por zero).
Passo 5
Forma alternativa (útil na prova): usar propriedades do logaritmo para simplificar antes de derivar. Primeiro,
onde foi usada a identidade
que garante que a expressão faz sentido para
também. Derivando termo a termo:
- a derivada de
é (constante), - a derivada de
é para .
Resultado coincide com o do passo anterior:.