Calcule as derivadas das funções a seguir. f(x)=\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x-\operatorname{sec} x}
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de f onde
f(x)=\frac{\tan x}{\sin x - \operatorname{sec} x}.
Informações relevantes dadas:
A função está expressa em termos de funções trigonométricas \tan, \sin e \operatorname{sec}.
Para que f esteja definida é preciso que \cos x \neq 0 (pois \tan e \operatorname{sec} envolvem \cos) e que o denominador \sin x-\operatorname{sec} x \neq 0.
A pergunta é: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.
Passo 2
Escolhendo o procedimento: aqui temos uma razão (quociente) de duas funções, então a regra natural é a regra do quociente. Antes de aplicar, preciso das derivadas das funções trigonométricas envolvidas. Vou definir duas funções auxiliares:
Agora vou desenvolver e simplificar cuidadosamente o numerador. Começo expandindo os termos:
\begin{aligned} \text{num} &= \operatorname{sec}^2 x\sin x - \operatorname{sec}^2 x\operatorname{sec} x - \tan x\cos x + \tan x\operatorname{sec} x\tan x\\[4pt] &= \operatorname{sec}^2 x\sin x - \operatorname{sec}^3 x - \underbrace{\tan x\cos x}_{=\sin x} + \operatorname{sec} x\tan^2 x. \end{aligned}
Observe que \tan x\cos x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cos x=\sin x, por isso o termo sai como -\sin x.
Então
\text{num}=\operatorname{sec}^2 x\sin x - \operatorname{sec}^3 x - \sin x + \operatorname{sec} x\tan^2 x.
Agora uso a identidade trigonométrica básica \tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x-1. Vou agrupar os termos convenientemente: combine o termo \operatorname{sec} x\tan^2 x com -\operatorname{sec}^3 x:
\operatorname{sec} x\tan^2 x - \operatorname{sec}^3 x = \operatorname{sec} x(\tan^2 x - \operatorname{sec}^2 x) = \operatorname{sec} x\big((\operatorname{sec}^2 x-1)-\operatorname{sec}^2 x\big) = \operatorname{sec} x(-1) = -\operatorname{sec} x.
E combine também \operatorname{sec}^2 x\sin x - \sin x:
\operatorname{sec}^2 x\sin x - \sin x = \sin x(\operatorname{sec}^2 x-1)=\sin x\tan^2 x.
Juntando as duas simplificações:
\text{num} = \sin x\tan^2 x - \operatorname{sec} x.
Portanto a derivada fica
f'(x)=\frac{\sin x\tan^2 x - \operatorname{sec} x}{(\sin x-\operatorname{sec} x)^2}.]
Passo 5
Observações finais e domínio: a expressão encontrada é válida onde todas as quantidades fazem sentido, ou seja \cos x\neq 0 (para \tan e \operatorname{sec}) e \sin x-\operatorname{sec} x\neq 0 (para evitar divisão por zero no denominador). A forma final está simplificada usando a identidade \tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x-1.
Resposta
f'(x)=\frac{\sin x\,\tan^2 x - \operatorname{sec} x}{(\sin x-\operatorname{sec} x)^2}