Calcule as derivadas das funções a seguir.
f(x)=\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x-\operatorname{sec} x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de f onde
f(x)=\frac{\tan x}{\sin x - \operatorname{sec} x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está expressa em termos de funções trigonométricas \tan, \sin e \operatorname{sec}.
  • Para que f esteja definida é preciso que \cos x \neq 0 (pois \tan e \operatorname{sec} envolvem \cos) e que o denominador \sin x-\operatorname{sec} x \neq 0.
  • A pergunta é: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Escolhendo o procedimento: aqui temos uma razão (quociente) de duas funções, então a regra natural é a regra do quociente. Antes de aplicar, preciso das derivadas das funções trigonométricas envolvidas. Vou definir duas funções auxiliares:
u(x)=\tan x,\qquad v(x)=\sin x-\operatorname{sec} x.
Explico e mostro como obter as derivadas que vou usar:
  1. Derivada de \tan x. Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, aplicando a regra do quociente rápida:
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Então u'(x)=\operatorname{sec}^2 x.
  1. Derivada de \sin x. É a mais básica:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  1. Derivada de \operatorname{sec} x. Como \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x},
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = -\frac{d}{dx}(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2 x} = -(-\sin x)\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \operatorname{sec} x\tan x.
Portanto \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.
Resumo das derivadas que usarei:
u(x)=\tan x,\quad u'(x)=\operatorname{sec}^2 x,
v(x)=\sin x-\operatorname{sec} x,\quad v'(x)=\cos x - \operatorname{sec} x\tan x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Substituindo u,\;u',\;v,\;v' obtidos:
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x\big(\sin x-\operatorname{sec} x\big)-\tan x\big(\cos x-\operatorname{sec} x\tan x\big)}{(\sin x-\operatorname{sec} x)^2}.

Passo 4

Agora vou desenvolver e simplificar cuidadosamente o numerador. Começo expandindo os termos:
\begin{aligned} \text{num} &= \operatorname{sec}^2 x\sin x - \operatorname{sec}^2 x\operatorname{sec} x - \tan x\cos x + \tan x\operatorname{sec} x\tan x\\[4pt] &= \operatorname{sec}^2 x\sin x - \operatorname{sec}^3 x - \underbrace{\tan x\cos x}_{=\sin x} + \operatorname{sec} x\tan^2 x. \end{aligned}
Observe que \tan x\cos x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cos x=\sin x, por isso o termo sai como -\sin x.
Então
\text{num}=\operatorname{sec}^2 x\sin x - \operatorname{sec}^3 x - \sin x + \operatorname{sec} x\tan^2 x.
Agora uso a identidade trigonométrica básica \tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x-1. Vou agrupar os termos convenientemente: combine o termo \operatorname{sec} x\tan^2 x com -\operatorname{sec}^3 x:
\operatorname{sec} x\tan^2 x - \operatorname{sec}^3 x = \operatorname{sec} x(\tan^2 x - \operatorname{sec}^2 x) = \operatorname{sec} x\big((\operatorname{sec}^2 x-1)-\operatorname{sec}^2 x\big) = \operatorname{sec} x(-1) = -\operatorname{sec} x.
E combine também \operatorname{sec}^2 x\sin x - \sin x:
\operatorname{sec}^2 x\sin x - \sin x = \sin x(\operatorname{sec}^2 x-1)=\sin x\tan^2 x.
Juntando as duas simplificações:
\text{num} = \sin x\tan^2 x - \operatorname{sec} x.
Portanto a derivada fica
f'(x)=\frac{\sin x\tan^2 x - \operatorname{sec} x}{(\sin x-\operatorname{sec} x)^2}.]

Passo 5

Observações finais e domínio: a expressão encontrada é válida onde todas as quantidades fazem sentido, ou seja \cos x\neq 0 (para \tan e \operatorname{sec}) e \sin x-\operatorname{sec} x\neq 0 (para evitar divisão por zero no denominador). A forma final está simplificada usando a identidade \tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x-1.

Resposta

f'(x)=\frac{\sin x\,\tan^2 x - \operatorname{sec} x}{(\sin x-\operatorname{sec} x)^2}

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