Calcule as derivadas das funções a seguir:
\mathrm{Y}=(\ln \mathrm{x})^{2}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função Y=(\ln x)^{2} em relação a x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é Y=(\ln x)^{2}.
  • Implicação importante: o domínio onde \ln x está definido é x>0. Logo a derivada só faz sentido para x>0.

Passo 2

Qual regra vamos usar (explicação didática): quando uma função é composta — isto é, uma função dentro de outra — usa-se a regra da cadeia. Escrita geral da regra da cadeia:
\text{Se } y = [u(x)]^{n}\text{, com }u=u(x),\text{ então } \frac{dy}{dx}=n\,[u(x)]^{\,n-1}\cdot \frac{du}{dx}.ã
O que cada símbolo significa:
  • y é a função final que queremos derivar;
  • u(x) é a função interna (aquela que está “dentro” da potência);
  • n é a potência (neste problema n=2);
  • \dfrac{du}{dx} é a derivada da função interna em relação a x.
Intuição simples: primeiro deriva-se a parte externa (a potência) mantendo a interna fixa, depois multiplica-se pela taxa de variação da parte interna.

Passo 3

Derivada da função interna: aqui a parte interna é u(x)=\ln x. A derivada de \ln x é uma fórmula básica que vale
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x},
para x>0. Rápida justificativa intuitiva: \ln x é a função inversa de e^{x}; derivando implicitamente y=\ln x (ou usando propriedades conhecidas) obtemos \dfrac{dy}{dx}=1/x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao caso Y=(\ln x)^{2}: seja u=\ln x e n=2. Pela fórmula da cadeia temos
\frac{dY}{dx}=2\,u^{\,2-1}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui expliquei passo a passo: derivei a potência (vem o fator 2 e a potência reduz em uma unidade) e mantive a derivada da parte interna multiplicando no final.

Passo 5

Agora substituo \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x} (do Passo 3) na expressão do Passo 4. Mantendo u por enquanto, ficou
\frac{dY}{dx}=2u\cdot\frac{1}{x}.
Isto é uma forma intermediária; falta voltar a escrever em termos de x.

Passo 6

Reescrevendo u=\ln x em termos de x (substituição final), obtemos a forma explícita da derivada. Também lembrando o domínio x>0.

Resposta

\dfrac{dY}{dx}=\dfrac{2\ln x}{x}
x>0

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