Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
em relação a
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Implicação importante: o domínio onde
está definido é . Logo a derivada só faz sentido para .
Passo 2
Qual regra vamos usar (explicação didática): quando uma função é composta — isto é, uma função dentro de outra — usa-se a regra da cadeia. Escrita geral da regra da cadeia:
O que cada símbolo significa:
-
é a função final que queremos derivar; -
é a função interna (aquela que está “dentro” da potência); -
é a potência (neste problema ); -
é a derivada da função interna em relação a .
Intuição simples: primeiro deriva-se a parte externa (a potência) mantendo a interna fixa, depois multiplica-se pela taxa de variação da parte interna.
Passo 3
Derivada da função interna: aqui a parte interna é
. A derivada de
é uma fórmula básica que vale
para
. Rápida justificativa intuitiva:
é a função inversa de
; derivando implicitamente
(ou usando propriedades conhecidas) obtemos
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao caso
: seja
e
. Pela fórmula da cadeia temos
Aqui expliquei passo a passo: derivei a potência (vem o fator
e a potência reduz em uma unidade) e mantive a derivada da parte interna multiplicando no final.
Passo 5
Agora substituo
(do Passo 3) na expressão do Passo 4. Mantendo
por enquanto, ficou
Isto é uma forma intermediária; falta voltar a escrever em termos de
.
Passo 6
Reescrevendo
em termos de
(substituição final), obtemos a forma explícita da derivada. Também lembrando o domínio
.