Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
Informações fornecidas:
- A função é
. - Não há restrições adicionais informadas no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades fundamentais que vou usar (explicadas com calma):
- A função exponencial
e o logaritmo natural são funções inversas quando o argumento é positivo. Isso significa que, para qualquer número real ,
Aqui
é um número real qualquer; no nosso caso
. Essa identidade vale porque
para todo
, então o logaritmo está bem definido.
- Regra da cadeia e derivada do logaritmo: se
é uma função diferenciável e positiva, então
Nessa fórmula
é a função interna (dependente de
) e
é a sua derivada em relação a
. Essa é a versão da derivada do ln combinada com a regra da cadeia.
Também lembramos que a derivada da exponencial é muito simples:
Passo 3
Aplicando a propriedade inversa diretamente para simplificar a função antes de derivar:
para todo
, porque o logaritmo natural “anula” a exponencial quando o expoente é um número real.
Passo 4
Agora derivamos a expressão simplificada
. A derivada de
em relação a
é
Portanto, a partir da simplificação, obtemos que a derivada de
é
.
Passo 5
Vou mostrar a mesma resposta usando a regra da cadeia (sem simplificar primeiro), para reforçar o conceito e você ver que dá o mesmo resultado:
- Tome
. Então . - Calcula-se
. - Pela fórmula da derivada do ln,
Confirmamos que o resultado é o mesmo:
.
Passo 6
Observações finais e generalização útil para a prova (dica amiga):
- A identidade geral é
para qualquer função . Assim,
Ou seja, quando ver
numa prova, você pode simplificar direto para
e depois derivar — costuma ser o caminho mais rápido.
- No caso específico de
, fica .
Força aí — você já tem essa técnica pronta para a prova!