Calcule as derivadas das funções a seguir:
Y=\ln \left(e^{x}\right)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função Y dada por
Y=\ln\!\left(e^{x}\right).
Informações fornecidas:
  • A função é Y=\ln\!\left(e^{x}\right).
  • Não há restrições adicionais informadas no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades fundamentais que vou usar (explicadas com calma):
  1. A função exponencial e^{t} e o logaritmo natural \ln(t) são funções inversas quando o argumento é positivo. Isso significa que, para qualquer número real t,
\ln\!\left(e^{t}\right)=t.
Aqui t é um número real qualquer; no nosso caso t=x. Essa identidade vale porque e^{t}>0 para todo t, então o logaritmo está bem definido.
  1. Regra da cadeia e derivada do logaritmo: se u(x) é uma função diferenciável e positiva, então
\frac{d}{dx}\ln\!\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Nessa fórmula u(x) é a função interna (dependente de x) e u'(x) é a sua derivada em relação a x. Essa é a versão da derivada do ln combinada com a regra da cadeia.
Também lembramos que a derivada da exponencial é muito simples:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 3

Aplicando a propriedade inversa diretamente para simplificar a função antes de derivar:
Y=\ln\!\left(e^{x}\right)=x,
para todo x\in\mathbb{R}, porque o logaritmo natural “anula” a exponencial quando o expoente é um número real.

Passo 4

Agora derivamos a expressão simplificada Y=x. A derivada de x em relação a x é
\frac{d}{dx}x=1.
Portanto, a partir da simplificação, obtemos que a derivada de Y é 1.

Passo 5

Vou mostrar a mesma resposta usando a regra da cadeia (sem simplificar primeiro), para reforçar o conceito e você ver que dá o mesmo resultado:
  • Tome u(x)=e^{x}. Então Y=\ln\!\big(u(x)\big).
  • Calcula-se u'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Pela fórmula da derivada do ln,
\frac{dY}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{e^{x}}{e^{x}}=1.
Confirmamos que o resultado é o mesmo: 1.

Passo 6

Observações finais e generalização útil para a prova (dica amiga):
  • A identidade geral é \ln\!\big(e^{g(x)}\big)=g(x) para qualquer função g(x). Assim,
\frac{d}{dx}\ln\!\big(e^{g(x)}\big)=g'(x).
Ou seja, quando ver \ln(e^{\text{algo}}) numa prova, você pode simplificar direto para \text{algo} e depois derivar — costuma ser o caminho mais rápido.
  • No caso específico de g(x)=x, fica g'(x)=1.
Força aí — você já tem essa técnica pronta para a prova!

Resposta

\dfrac{dY}{dx}=1

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