Calcule as derivadas das funções a seguir:
Y=\ln \left(x^{2}+5\right)\

Passo 1

O enunciado dá a função Y=\ln\!\left(x^{2}+5\right) e pede para calcular a derivada dessa função em relação a x.
Informações relevantes:
  • A função é uma composição: a parte externa é \ln(\cdot) e a parte interna é x^{2}+5.
  • Queremos \dfrac{dY}{dx} (ou Y'(x)), a taxa de variação de Y com respeito a x.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação simples e intuitiva).
  • Derivada: \dfrac{d}{dx} mede a taxa de variação instantânea. Notações: Y'(x) ou \dfrac{dY}{dx}.
  • Regra da cadeia (ideia): se uma função é composta, Y=f(g(x)), então a derivada é o produto da derivada da função externa avaliada na interna pela derivada da função interna:
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Intuição suave: primeiro vê-se como muda f quando sua entrada muda, depois multiplica-se por quanto a entrada (que é g(x)) muda com x.
  • Derivada do logaritmo natural: para f(u)=\ln(u) com u>0,
f'(u)=\frac{1}{u}.
Então, aplicando a regra da cadeia para Y=\ln(u(x)),
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x).
Explicação simples: o log cresce mais devagar quando u é grande; a derivada \tfrac{1}{u} captura isso, e depois multiplica-se pela velocidade de variação de u.

Passo 3

Identificar a função interna e derivá‑la.
  • Tomamos u(x)=x^{2}+5. Aqui u é a parte dentro do \ln.
  • Derivada de u: derivada de x^{2} é 2x e derivada da constante 5 é 0. Logo,
u'(x)=2x.
Pequena justificativa: a regra do poder (power rule) diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Para n=2 2x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia à função completa.
Usando a fórmula da derivada do \ln e o resultado de u'(x),
\frac{dY}{dx}=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)=\frac{1}{x^{2}+5}\cdot 2x.
Agora simples reorganização para ficar mais usual:
\frac{dY}{dx}=\frac{2x}{x^{2}+5}.
Observações úteis para a prova:
  • Domínio: x^{2}+5>0 para todo x\in\mathbb{R}, então a derivada faz sentido para qualquer x real.
  • Dica de memorização: para funções do tipo \ln(\text{algo}), lembre sempre “1 sobre o algo vezes a derivada do algo”. Funciona sempre.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar (aplicação numérica pequena).
Calcular a derivada em x=1: basta substituir em \dfrac{2x}{x^{2}+5},
\left.\frac{dY}{dx}\right|_{x=1}=\frac{2\cdot 1}{1^{2}+5}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Isso mostra como usar a fórmula no lápis e papel durante a prova.

Resposta

\dfrac{dY}{dx}=\dfrac{2x}{x^{2}+5}

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