Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função em relação a
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é uma composição: a parte externa é
e a parte interna é . - Queremos
(ou ), a taxa de variação de com respeito a .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação simples e intuitiva).
- Derivada:
mede a taxa de variação instantânea. Notações: ou . - Regra da cadeia (ideia): se uma função é composta,
, então a derivada é o produto da derivada da função externa avaliada na interna pela derivada da função interna:
Intuição suave: primeiro vê-se como muda
quando sua entrada muda, depois multiplica-se por quanto a entrada (que é
) muda com
.
- Derivada do logaritmo natural: para
com ,
Então, aplicando a regra da cadeia para
,
Explicação simples: o log cresce mais devagar quando
é grande; a derivada
captura isso, e depois multiplica-se pela velocidade de variação de
.
Passo 3
Identificar a função interna e derivá‑la.
- Tomamos
. Aqui é a parte dentro do . - Derivada de
: derivada de é e derivada da constante é . Logo,
Pequena justificativa: a regra do poder (power rule) diz que
. Para
dá
.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia à função completa.
Usando a fórmula da derivada do e o resultado de
,
Usando a fórmula da derivada do
Agora simples reorganização para ficar mais usual:
Observações úteis para a prova:
- Domínio:
para todo , então a derivada faz sentido para qualquer real. - Dica de memorização: para funções do tipo
, lembre sempre “1 sobre o algo vezes a derivada do algo”. Funciona sempre.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar (aplicação numérica pequena).
Calcular a derivada em : basta substituir em
,
Calcular a derivada em
Isso mostra como usar a fórmula no lápis e papel durante a prova.