Calcule as derivadas das funções trigonométricas inversas, sabendo de antemão as funções derivadas das respectivas funções trigonométricas.
f(x)=\operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\arctan x. O conteúdo principal é a derivada de função inversa: se g é bijetora e tem derivada g' não nula, então (g^{-1})'(x)=\frac{1}{g'(g^{-1}(x))}. Aqui reconhecemos g(x)=\tan x e g^{-1}(x)=\arctan x. Também sabemos de antemão que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x.

Passo 2

Aplicando a fórmula da derivada da inversa:
\bigl(\arctan x\bigr)' = \frac{1}{\displaystyle\frac{d}{du}\bigl(\tan u\bigr)\Big|_{u=\arctan x}} =\frac{1}{\operatorname{sec}^2\!\bigl(\arctan x\bigr)}.

Passo 3

Para simplificar usamos \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y com y=\arctan x. Como \tan(\arctan x)=x, segue
\operatorname{sec}^2\!\bigl(\arctan x\bigr)=1+\tan^2\!(\arctan x)=1+x^2.
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\bigl(\arctan x\bigr)'=\frac{1}{1+x^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{1+x^2}.

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